---

---

Il vero problema che ne consegue non è tanto l'errore geometrico, cui quasi tutti indulgono, bensì il fatto che a detto grafico si è preteso di at­tri­bu­i­re la crescita di conchiglie a spirale e ben altro, e si continua sempre più a pre­tenderlo fino all'aberrazione d'uso della serie numerica di Fibonacci (che di questo non è certo responsabile), insistendo a sovrapporre immagini e gra­fi­ci che non collimano mai, né potrebbero; e non solo perché detta spirale privata delle cornici rettangolari appare visibilmente brutta, schiacciata ed irregolare, ma perché è troppo ampia per certi molluschi, a cui viene so­vrap­po­sta come se niente fosse.
Credo di poter condividere la frustrazione sotterranea derivante da tali discrepanze, an­che se per lo più si tende ad ignorarle, stante un istintivo - an­cor­ché i­nap­pa­ga­to – anelito verso l'ar­mo­nia; e sono ben felice di poter infine offrire a tutti la vera soluzione, risultante da uno sforzo impegnato e per niente leg­gero.

A questo punto comunque va sottolineata la premessa scomoda ma effettiva, che l'aver potuto scoprire la sezione aurea per mezzo del te­o­re­ma di Pi­ta­go­ra ha finito con l'ingabbiare il nostro pensiero in quel ret­tan­go­lo, e nel suo suggestivo e facile sviluppo, come se fosse l'unica, o la più rappresentativa ap­pli­ca­zio­ne della spirale.
Diciamo pure che ci ha portati sulla strada, ma anche incanalandoci in una strada a senso unico; infatti il metodo derivato dal rettangolo, pur sollevando in nostro entusiasmo, non poteva essere di per sé sufficente a rappresentare tutte le forme di armonia evolutiva, non coprendo la gamma aurea al com­pleto.
Ricalcare poi il metodo sul triangolo non ha condotto che a vaniloqui sce­ni­ci, privi di riscontro in natura, e comunque geometricamente ancora più in­fon­da­ti. Evidentemente non era la via giusta, e tuttavia questo mio studio ha di­mo­stra­to che un fondo di verità può aver sospinto tanta in­si­sten­za generale.

L'immagine a dimensione na­tu­ra­le del­la por­ta di mol­lu­sco a suo tem­po la ot­tenni da scan­ner, per es­se­re cer­to del­la di­men­sio­ne na­tu­ra­le e sen­za de­for­ma­zio­ni pro­spet­ti­che, e qua la spi­ra­le è net­tamente di­se­gna­ta dal mol­lu­sco stes­so, non da un in­ter­ven­to grafico.

L'a­ve­vo infatti rac­col­ta in­sie­me ad al­tre spar­se in ter­ra, fra le ce­ne­ri di un bar­be­cue.
L'intero ovale ov­via­men­te non ha a che ve­de­re con la spi­ra­le se non per la pro­pria di­la­ta­zio­ne glo­ba­le vol­ta a chiu­de­re il mol­lu­sco nel suo gu­scio cer­ta­men­te spi­ra­liforme.
Per rispettare il senso an­tio­ra­rio del­la spi­ra­le vo­lu­to dal ja­vascript, ho do­vu­to ri­flet­ter­la o­riz­zon­tal­men­te.

È anche interessante notare che avendo questa la funzione di ‘porta’ che richiude e protegge il mollusco come l'Astrea Rugosa nel suo guscio spi­ra­liforme e profondo, verosimilmente con uno sviluppo aureo di ³/₄ come la quar­ta conchiglia esposta nella galleria della console, la sua crescita con ratio φ a 144° all'interno del guscio denota l'identico sviluppo spiraliforme anche tra­sver­sa­le del guscio stesso.
In buona sostanza, il rapporto aureo (non genericamente logaritmico) mostra di intervenire in ogni modalità e direzione in cui evolva la natura.

Persino una stella marina, abbandonata sul bagnasciuga da una mareggiata, di­mo­stra a suo modo come la spirale possa essere considerata motore della cre­sci­ta vi­ta­le, quanto meno ai primi stadi dell'evoluzione. Questa speciale creatura, un essere straordinario che fa innamorare gli studiosi per le sue ca­pa­ci­tà – e chissà perché, mi fa pensare all'atomo magnetico scoperto da Pier Luigi Ighina – avrei potuto adottarla quale emblema delle qualità del pen­ta­go­no in biologia; ma sono in ritardo, lascerò che siano altri a farlo.
La sua struttura finita estende orizzontalmente e in piano cinque braccia di­re­zionate in simmetria radiale a stella, da cui il nome scien­ti­fi­co ‘asteroidea’; quin­di con figura pentagonale perfettamente definita e mantenuta dal corpo cen­tra­le, sen­za al­cun le­ga­me con una for­ma­zio­ne a spirale nella sua vita da ferma o in mo­vi­men­to.

Eppure al momento della sua fine essa mostra di volersi ergere dal ter­re­no su cui poggia, sol­le­van­do­si appunto sulle sue braccia raccolte a spirale (al­cu­ne sem­bra­no rotte alle punte), forse ad esprimere così il supremo a­ne­li­to ver­so l'elevazione alla sua sorgente vibratòria, laddove una creatura di qual­si­a­si altra specie si sarebbe accasciata inerte; e questo in una mo­ven­za che si rifà mol­to alla curva di cui sto parlando, nativa dalla stella a cinque punte.
In fondo anche i chakra del corpo umano seguono la spirale ciascuno di un pro­prio vor­ti­ce; for­se sarebbe il caso di stu­diar­ne il numero dei petali, o raggi, per ar­ric­chi­re la gamma del­le frequenze auree.

Perciò ritorniamo al Nautilus, or­mai em­ble­ma ma­ri­no del­la ra­tio au­rea, co­min­cian­do da un classico, almeno per me, avendolo adottato come wall­pa­per per l'accesso al mio sistema fin da win­dows­8; forse uno dei tanti, o rari, se­gni del de­stino.
Se osserviamo attentamente qualunque a­rea cen­tra­le, possiamo no­ta­re già da sola una no­te­vo­le di­scre­pan­za tra le pro­por­zio­ni con­se­gui­te nel­la cre­sci­ta, ed il rap­por­to au­reo ri­spet­to al­l'i­po­te­ti­co centro.
Inoltre le due frec­ce verdi sono uguali e in­di­ca­no la stes­sa ampiezza a di­stan­za di ben 90°.
La stessa differenza tra le dimensioni e la frequenza dei primi cinque com­par­ti, e quelle di uno sviluppo ormai regolare, insegna che per ovviare allo stadio di assesamento i­ni­zia­le sarà necessario regolare il raggio di partenza della spirale. Attenti però, a che modificare il raggio interviene su tutta la collocazione della spirale su una figura di fondo, poiché fa partire sempre la curva da 0° (in basso) e quindi può avvicinare o allontanare dalla soluzione dovendo risistemare i parametri di ratio e rotazione, che per una spirale equivale ad uno zoom. Ciò è valido per le immagini fin qua pubblicate con i relativi parametri; ma ho modificato il codice in modo da fargli seguire la spirale, che così rimane fissa qualunque sia il raggio da cui parte.
Le immagini successive si distingueranno per un cruscotto di colore diverso.

È scontato che queste esistano tra un in­di­vi­duo e l'altro di qualsiasi specie; ma per quanto ri­guar­da la crescita a spirale, essendo scopo del­la trat­ta­zio­ne la corretta attribuzione del tipo di spirale, ho voluto e­vi­den­zia­re la problematica cen­tra­le mettendoli a con­fron­to con un terzo.
Un primo sviluppo cellulare ed il decadimento riduttivo del­l'in­vec­chia­men­to potrebbero non es­se­re equamente rispondenti dall'inizio alla fine; e ­le va­rie fasi di cre­sci­ta incontra­no sol­le­ci­ta­zio­ni am­bien­ta­li non­ché pres­sio­ni strut­tu­ra­li di va­rio or­dine.
Va tenuto conto che ri­gon­fia­menti o de­for­ma­zio­ni strut­tu­ra­li i­ni­zia­li an­che leg­ge­re e non si­gni­fi­ca­tive per il sog­get­to pos­so­no com­por­ta­re de­via­zio­ni sem­pre più con­si­sten­ti a rag­gio cre­scen­te di una spi­ra­le, an­co­r più che in qual­sia­si traiettoria. Naturali differenze e sproporzioni più o meno avvertibili fanno sì che dal punto di vista ge­o­me­tri­co, la fase iniziale dello sviluppo non possa risultare rappresentabile se non con una curva che parta da un raggio minimo, in que­ste im­ma­gi­ni pre­su­mi­bilmente in­tor­no ai 20 pi­xel; e co­mun­que lo stes­so tes­su­to or­ga­ni­co non po­treb­be par­ti­re con rag­gio =1.
Ed ecco infatti un netto miglioramento pro­prio sul ‘Na­u­ti­lus win­dows8’ che, ol­tre a ve­der col­li­ma­re la spi­ra­le sul trat­to fi­na­le in cui pri­ma rien­tra­va, giu­sti­fi­ca un lie­ve as­se­sta­men­to del cen­tro ad x=136 per un pas­so di 0.44, ancora più vi­ci­no allo 0.4 del­la spi­ra­le stel­la­re, che si ri­af­fer­ma come la do­mi­nan­te in luogo della 0.25 ret­tan­go­la­re, la sola ge­ne­ral­men­te pro­po­sta ed a­dot­ta­ta sen­za ra­gio­ne ef­fet­tiva.
Qualcuno tra gli osservatori più seri lo aveva già ri­mar­ca­to, ma solo per ri­pie­ga­re su un concetto di lo­ga­rit­mi­ca, non valutando a suf­fi­cen­za la portata della Divina Proporzione nel­l'e­si­sten­te. È la ratio aurea infatti a dirigere l'espressione energetica del­l'In­tel­li­gen­za creatrice.
La definizione di lo­ga­rit­mi­ca del resto non fa che produrre spirali in­dif­fe­renziate di qualunque tipo, cioè prive di una classificazione motivata; a­dat­tar­ne una ad un organismo non dimostra quasi niente.
Vari campioni di Nautilus che ho esaminato si attestano intorno a 0,44, e probabilmente si può scoprire di meglio.
A lato la minore differenza tra le due spirali a raffronto; quella a parametro 0,4 (144°) e quella più ridotta, a 0,44… (e­la­bo­ra­ta ora a 0,44945).
In effetti vi è un aspetto di cui tener conto: il taglio in sezione del mollusco dif­fi­cil­men­te sa­rà eseguito al centro verticale preciso tra i due lati, data la dif­fi­col­tà e la non necessità di una simile accuratezza per scopi il­lu­stra­ti­vi che non trattano esatta geometria ma bio­lo­gia marina. Verrà scartata la metà fo­to­gra­fa­ta eventualmente eccedente sul bordo, per invece riprodurre quella piana, leg­ger­men­te più ridotta rispetto all'estensione totale.
Ciò potrebbe in parte spiegare la tendenza delle varie foto da me testate, a risultare interne ad una spirale a 144°, portando il parametro a circa 160°.

Infatti, un test su una foto del mol­lu­sco vi­ven­te si a­dat­ta mol­to bene alla spi­ra­le in og­get­to, di 144°, anzi sem­bra star­ci stret­to.

A conclusione del pre­sen­te stu­dio, si può co­mun­que de­dur­re che le op­zio­ni di svi­lup­po a spi­ra­le di que­sti e tan­ti al­tri mol­lu­schi gra­vitino in­tor­no a que­sta fre­quen­za pen­ta­go­na­le del φ e alla sua dop­pia, piut­to­sto che a quel­la a 4 quar­ti di qua­dra­to e ret­tan­go­lo; né si può pensare di contare su una spirale logaritmica adattata ad ogni caso, per potervi enunciare una legge della natura.

Tuttavia lo sforzo im­pie­ga­to nel con­se­gui­re una ve­ri­fi­ca con­vin­cen­te, ha sti­mo­la­to una nu­o­va os­ser­va­zio­ne: no­no­stan­te le pos­si­bi­li ap­pros­si­ma­zio­ni e di­ver­si­tà, la ten­den­za di sva­ria­ti mo­del­li di Na­u­ti­lus te­sta­ti ri­af­fer­ma una pro­por­zio­ne sta­bi­le che non si può tra­scu­ra­re: il va­lo­re me­dio spe­ri­men­ta­to o­scil­la in­tor­no a 0.4495, che si può rav­vi­sa­re come una co­stan­te, ri­sul­ta­to di 161.8°, un φ ×*100 /360.

Forse dovremmo i­sti­tu­i­re una spe­cia­le fre­quen­za au­rea?
In que­sto caso la for­mu­la sa­reb­be nien­te­me­no che:

R = φ ^{±P/(φ×100)}

In verità l'ho subito ri-ap­pli­ca­ta, ot­ti­miz­zan­do i pa­ra­me­tri di di­spo­si­zio­ne, con un e­si­to (fig. a lato) che non la­scia dub­bi. Si può pure no­ta­re che il pri­mo sta­dio si svi­lup­po si con­fà ad una spi­ra­le per­si­no dop­pia del­la ‘clas­si­ca’ (in ros­so), per poi nor­ma­liz­zar­si ra­pi­da­mente.

Ma la partita non è af­fat­to e­sa­u­ri­ta: eccoci alle prese con un cam­pio­ne di na­u­ti­lus ai rag­gi-X. Al primo test non ho dovuto certo faticare, il risultato gra­ti­fi­ca lo scopo prefissato; sebbene una probabile leggera in­cli­na­zio­ne o­riz­zon­ta­le possa aver compresso i lati destro e sinistro rispetto ad alto e basso.
(Ad un confronto postumo la foto sembra non tanto regolare; ma poiché il la­vo­ro svolto rende abbastanza bene una certa idea, la lascio com'è).
L'aspetto interessante è come la spirale a 90° (rossa – struttura qua­dri­po­la­re) seguita dalla 144° (viola – struttura pentagonale) preludano ad una re­ci­pro­ca com­pen­sa­zio­ne intorno ai 36° del nostro diagramma.
Intendo quel­l'as­se­sta­men­to in crescita del mollusco, mantenuta senz'altro co­stan­te dai 130° in poi, CVD.
È il tratto di curva del guscio al lato superiore della doppia freccia, che de­li­mi­ta più o meno un semicerchio in cui il settore rosso rispetto al viola po­treb­be­ro avere ampiezze in rapporto aureo tra loro; ma non mi inoltrerò a tanto; c'è quanto basta a verificare la consistenza dell'attributo aureo connesso al pen­ta­go­no con­cavo.
Con buona pace dei patiti di Fibonacci poiché, qualunque possa risultare il pa­ra­me­tro più corretto da applicare, la spirale che definisce il Nautilus non ha as­so­lu­ta­men­te niente a che fare con la pseudo spirale attribuita al ma­te­ma­ti­co dal grande pubblico.
Voglio sottolineare ancora una volta che la serie numerica di Fibonacci non è che un surrogato popolare del rapporto aureo, che non raggiungerà mai,; il suo merito primo, oltre a questioni di allevamento, è quello di introdurre in un modo concreto ad alcune proprietà della sezione aurea, che è un'entità tra­scen­den­te, tutti coloro che non la conoscevano, o che non l'hanno ancora ben focalizzata.

Chi vorrà cimentarsi con la console scoprirà presto che vi sono molti modi di affrontare, ruotare, dimensionare una spirale su una figura, nonché cen­trarla, giacché è più facile regolarsi sul profilo esterno che sul centro di figure non abbastanza grandi; se ritoccare il raggio poteva sor­pren­de­re per eccesso di contrazioni~espansioni, ora l'ho risolto (vedi help); e alla fine si possono accreditare i compromessi per svariate soluzioni dello stesso caso, da ritenere soddisfacenti.

Altri esempi naturali, a riprova di quanto ho sostenuto fin dall'inizio della presentazione dei cerchi aurei, si trovano riportati nei vari passaggi della trattazione.