Questa inaspettata scoperta è scaturita da un primo tentativo di mostrare che la spirale fittizia, generalmente costruita sul triangolo aureo dieci volte presente nel pentagono regolare completo, con lo stesso artificio, la si può applicare a qualsiasi triangolo irregolare, senza che ciò dimostri nulla né generi una curva aurea, e nemmeno una vera spirale; ma non sospettavo il suo effetto sorprendente, ove protratto per un numero crescente di volute.
L'averlo sperimentato ha invece straordinariamente dimostrato che a partire da qualsiasi forma triangolare, applicarvi il processo ad archi successivi quale criterio di crescita e sviluppo, generi triangoli tendenti sempre più alla stessa forma aurea del nostro derivato dal pentagono, quasi rivelando una sorta di perfezione latente! La figura a lato è solo una prima bozza, frettolosa e solo indicativa di cosa mi si è presentato sviluppando il diagramma a partire da un triangolo 1-2-3 asimmetrico, e poi riportando alla base del pentagono dei blocchi o triangoli ottenuti, in una scala contenuta dal suo lato base o dalla sua altezza, onde poter comparare la progressiva e sempre maggior corrispondenza al perimetro regolare della stella.
La riproduco così com'è, solo per trasmettere la stessa impressione che ho avuto al primo impatto; ma sarò più preciso.
Una scoperta sensazionale infatti, poiché senza dubbio evoca l'assestamento spontaneo di fenomeni naturali e biologici!
La figura ne dà un esempio che mostra come ogni nuovo triangolo della serie scalato e ricollocato alla base del pentagono, si avvicini sempre più al traguardo aureo, secondo una procedura che he vorremo definire spiraloide, non perché possa o debba simulare una spirale, tantomeno sostituirla dato il suo criterio costruttivo effettuato con misurazioni sempre variabili, ma proprio perché ne segue l'andatura.
Procedendo per gradi
Spiraloide - passo base
Si comincia da un triangolo irregolare (volutamente diverso da quello usato in prima prova), con angoli 1, 2, 3 che indicano in questo caso i lati e la loro rotazione in senso orario. Si traccia un arco per ogni [nuovo] vertice, dal vertice precedente fino ad incontrare (con raggio il lato tra i due) il prolungamento del lato successivo, in progressione circolare continua ed omogenea.
A partire dal vertice 1 con raggio 1-3 si traccia quindi un arco ab, che raggiunga il prolungamento del succedente lato 2 con il percorso più breve.
Se ne ricava il segmento ab, che stabilisce una nuova triangolazione per il vertice 2 con il nuovo vertice 4 che, sostituendo il vertice 1, diventa ora per il lato 2 ciò che il 3 è per l'1. Non vorrei farla complicata, ma anzi pianificare la logica che muoverà i passi successivi.
La chiave della spiraloide consiste nel costruire ad ogni arco un nuovo triangolo, per cui farà capo ad ogni giro non in prospettiva dei primi vertici 1-3, ma dal nuovo triangolo 3 a 4, ossia dal prolungamento del lato ab già posto in essere dal primo arco, fino alla lunghezza ad.
È con il centro sul vertice 2 infatti che tracceremo l'arco seguente, fino ad incontrare il prolungamento del succedente lato 3 con il percorso più breve.
Ed ecco il segmento bc delineare un 2° potenziale triangolo abc, che però non completa il 1° giro.
Tocca ora al vertice-lato 3 pilotare l'arco successivo, fino ad incontrare in d il prolungamento del nuovo ab, ossia l'ultimo lato ad esso successivo, stante l'ultimo triangolo abc che lo spiraloide ha posto in onda.
Spiraloide, passi 2, 3 e triangolo finale
Si è conseguito così, ad un primo stadio, il triangolo bcd, frutto dell'applicazione spiraloide sui tre lati del triangolo di base.
La manovra decisiva consiste nell'aver fissato una figura pentagonale, sulla quale confrontare di volta in volta i triangoli ricavati da ogni proiezione spiraloide a 3 archi.
Si farà combaciare la base minore al lato base del pentagono, scalando il nuovo impianto triangolare fino alla sua massima estensione per base o altezza, contenuta per prima dalla base, o comunque dall'altezza del poligono fisso come confini.
Spiraloide - passi 2, 3 -
e triangolo risultante
Ogni operazione di controllo, per motivi facilmente comprensibili, dovrà essere eseguita tramite trascinamento, orientamento e scalatura manuali sulla dima, con inevitabile approssimazione dell'intero disegno, usando un tipo di software che consenta la manipolazione diretta; ma non tale da compromettere la certezza dell'analisi progressiva.
Le stesse azioni eseguite tramite calcoli comporterebbero impegni e tempi impensabili, soprattutto prima di conoscere con certezza quale sarà la meta effettiva.
Quindi non rimane che procedere.
Poiché ogni giro completo espanderà di circa 4,3~4,4 volte la sua ampiezza, per mantenerlo contenibile e riproducibile entro la cornice dello schermo, si renderà per di più necessario scalare ulteriormente ogni nuovo stadio sviluppato.
Ad ogni ingrandimento interviene un inevitabile adattamento grafico e una nuova approssimazione numerica, soprattutto per quanto riguarda la combinazione di archi di cerchi il cui raggio può variare con il trascinamento secondo il grado di destinazione, dovuti al salto sempre maggiore sul display.
Anche ove l'analisi delle figure finite rivelasse discrepanze in tal senso, le misurazioni sono state eseguite sempre sull'intero cerchio preciso.
Usare un programma di CAD mi richiederebbe un approccio specifico e forse più tempo e ripetuta attenzione che scrivere una procedura apposita; ma a mio avviso le funzioni illustrative restano abbastanza precise da rendere l'idea in modo certo ed affidabile.
Una volta preso atto del procedimento che descrivo in ogni dettaglio, chi si appassionasse a questa scoperta, amplificando la casistica, potrà sempre cimentarsi.
Al fine di garantire un confronto via via sempre più accurato e bene interpretabile, manterrò fissa nei campioni grafici spiraloid-process-##.svg la dimensione del pentagono di riferimento, sul quale riportare i triangoli ottenuti ad ogni terzo arco, tralasciando quelli intermedi.
spiraloide - stadio 2
Spiraloide, stadio 2 non ancora scalatoSpiraloide - passi 2, 3 -
Ultimata la prima fase, siamo di fronte al nuovo triangolo bca, i cui lati 1, 2, 3 andranno a rimpiazzare i precedenti, per aiutarci a ripetere la stessa operazione a 3 archi.
Si vede subito un notevole guadagno in avvicinamente del triangolo (arancio) al profilo di quello aureo verticale del pentagono, anche se la sua massima altezza compatibile impedisce alla sua base di estendersi per l'intero lato base del pentagono, al cui vertice sinistro è allineato.
È abbastanza emozionante andare a scoprire-verificare cosa ci riservi un terzo stadio di tale sviluppo, se pure afflitto da crescenti imprecisioni inevitabili a mano libera: un gioco che si fa sempre più arduo da gestire, per garantire sufficente accuratezza con esito inequivocabile.
E l'esito è inequivocabile! al terzo giro di vite l'avvicinamento al perimetro aureo si fa molto stringente con il triangolo verde, anche se naturalmente si tratta di un salto più ridotto, proporzionato allo scarto sempre minore.
Ad uguale altezza, la base rimane ridotta come nel caso precedente rispetto a quella del pentagono.
Spiraloide, stadio 3 parzialmente scalato
La rotazione della spiraloide costringe ad uno zoom minore dell'insieme contenuto, ma la dima stellata mantiene la stessa dimensione e una chiarezza limitata solo dal sovrapporsi di più curve, che ho preferito lasciare in vista.
Eccoci infine al quarto stadio, che si può considerare decisamente appagante, nonostante l'ancor minimo scarto rispetto al triangolo aureo del pentagono.
Uno scarto tanto ridotto che lo si può vedere quasi unicamente su diagrammi PDF o filiformi che ho allestito a latere, poiché la sovrapposizione in figura appare totale.
Il risultato è abbastanza coinvolgente, poiché l'avvicinamento sempre maggiore all'attesa proporzione aurea non lascia più spazio se non ad un ulteriore perfezionamento della tendenza.
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Piuttosto che spingermi oltre, per un esito ormai scontato ma assai impegnativo manualmente, a questo punto ho fatto un passo indietro, per controllare la prima delle figure testate, ferma al 3° giro. Pur non essendo altrettanto accurata, ormai ho appreso la tecnica e, senza tanti preamboli, ecco la figura del quarto profilo in oro, benché ottenuta da precedenti molto 'liberi' come si può notare (alcuni in questa prova erano triangoli intermedi).
Dovrebbe fugare ogni dubbio, se ve ne restano. Risulta evidente che quanto più il triangolo, che potrebbe sempre essere quello di partenza, è vicino alla proporzione aurea, tanto più le si avvicinerà ad ogni successivo incremento.
Prima bozza imprecisa, al 4° stadio
Anche se forse è destinato a raggiungere la precisione assoluta soltanto all'infinito (come si ama declamare), il fatto eclatante è che la destinazione si riafferma con qualsiasi figura di partenza, almeno tra quelle che ho testato rapidamente a caso.
Si tratta di una scoperta che potrebbe aggiungere poco alle applicazioni correnti, ma anche significare molto ed in piena profondità.
Come ho già sottolineato infatti, il movimento a spirale non è mero simbolo astratto, ma la portante dinamica espressa dalla vita e dall'esistente in ogni manifestazione, dal livello cellullare a quello ciclonico e galattico, sinonimo dello sviluppo coordinato del singolo essere e della realtà cosmica.
Esprimendo il triangolo il basamento di qualsiasi costrutto, il processo qua rappresentato sintetizza assai bene l'intrinseca tendenza alla crescita, verso la perfezione dell'equilibrio ideale ed originario.
In un certo qual modo riproduce la logistica del pensiero umano che, partendo da sensazioni minimali, fatte di tre persone per il neonato, si dilata e cresce con l'accumulo di confronti e relative esperienze; a contenere le quali con l'avanzare dell'età si troverà a ridimensionare l'ottica e la coscienza di un panorama sempre più ampio delle sue conoscenze ed acquisizioni, con percezioni non più paragonabili alla cinta o piedistallo di partenza, fino a condensarne la proporzione e la memoria in un serbatoio neuronico illimitato, ove i cardini del vissuto si riassumono in rapide sensazioni.
Ci insegna insomma come ogni forma possa potenzialmente crescere ed evolvere verso una latente armonia e compostezza, che è poi la stessa da cui proviene; ed è proprio il pentagono a manifestare e custodire questo segreto, il primo poligono che presenta un avvolgimento interno a primo simbolo del divenire e della trasformazione, con la linfa della sezione aurea; un aspetto che avevo già intuito e sviluppato nel 1992, nel mio primo trattato sugli Aspetti Astrologici.
dalle spirali al triangolo
A conti fatti, si direbbe che sia il triangolo in quanto tale a contenere il seme delle proiezioni spiraloidi, risultanti dall'effetto di una tensione sillogistica.
Alla prima pagina ho premesso che
“non sono le spirali a crescere sulla traccia di poligoni, … ma sono tali poligoni a moltiplicarsi sulla sequenza rotatoria della sezione aurea, …”
Inoltre che “la spirale non trae alcuna origine da una formazione triangolare, che invece sotto il profilo metafisico rappresenta conclusione e compimento”,
Mi riferivo al gioco dei rettangoli aurei che si usa far avvicendare, a confronto con i triangoli aurei.
Ove ciò apparisse contradditorio si renda utile una precisazione: con la spiraloide infatti ho applicato il procedimento inverso - a quello preteso sul triangolo ‘sublime’ - attivando la sua potenziale immanenza attraverso la moltiplicazione di triangoli irregolari e secondo una logica triangolare.
È importante comprendere che anche questa combinazione conferma l'assunto, in quanto è il movimento a spirale che conduce ad un triangolo aureo perfetto, non il contrario, da cui non può nascere comunque una vera spirale, né può esservi applicata.
È anzi interessante notare dalla figura del 4° stadio ‘definitivo’, che se la spirale classica (a quattro archi) è troppo ampia per questo schema, le spiraloidi delineate ai vari stadi di sviluppo si avicinano abbastanza a quella a tre archi, ossia in cui φ procede ad ogni 120° (qua accostata in color oro), pur non identificandosi a sufficenza, almeno in questo schema già svolto.
In realtà, se il concetto di compimento è in sé definitivo, lo sviluppo che lo precede, e che esso virtualmente contiene, deve basarsi su un modello iniziale, atto ad esplicitare una potenzialità.
Primum Mobile
Nulla che io sappia è in grado di esprimerla più e meglio di un triangolo, e in termini assoluti, di quel triangolo Cosmico, la cui base moltiplicata per la somma dei suoi due lati, cioè la sua proiezione/espressione/manifestazione aurea, è uguale a UNO, unità creatrice, fonte di ogni esistenza.
dal triangolo immoto
all'emanazione dinamica
Se riduce la sua base di metà, o apre e raddoppia i suoi lati in lunghezza, come da Ay ad yC e da Ly ad E e li riunisce al vertice v, esso ha generato il secondo triangolo che potremmo concepire come il creato, passando da tre a cinque parti ad esso rapportabili, con i paradigmi aurei del divenire pronti a ruotare ai vertici del pentagramma.
La sua immobilità di figura chiusa nel Sé tutto, FATTA DEL SUO CENTRO, sfocia nell'assoluta mobilità della forma aperta, il cui compimento perimetrale si realizza nel moltiplicarsi a pentagono.
Se il grande triangolo è padre-madre, il secondo è creatura.
Chi ha orecchie per intendere, intenda.
Ecco quindi in quale modo questo studio ha ricondotto il triangolo minore alla sua veste sublime, liberandolo da errate vestigia e restituendo a coloro che ne hanno intuito la somma virtù – pur rimanendo bloccati dalla convenzione – la più onorevole prospettiva.
Ripercorriamo quel concetto di Geometria Essenziale, che esalta il significato degli schemi di sinergia intrinseca, da me proposti o evidenziati.
Non un rompicapo da risolvere con espedienti, ma lo sforzo di intendere i meandri e riprodurre il cuore del linguaggio geometrico profondo, ancorché inesplorato, in ogni sfumatura che conduca al senso insostituibile dei suoi contenuti vitali; poiché, ogni quando la geometria parla, attesta la presenza ed il mistero di una Coscienza Creatrice in tutte le realizzazioni della sostanza.
Il triangolo è compimento, ma come tale è anche la prima espressione di ogni struttura esistenziale.
Il nostro è l'impronta celeste, che origina il sistema universo, governandolo con le leggi di assoluto equilibrio del π che contiene dal centro, e della sezione aurea, che manifesta nel perimetro (un lato del quale è ¼ del cerchio che lo circoscrive, destinato così alla quadripartitura).
Ad esso noi risaliamo geometricamente tramite il quadrato, che è più vicino a vedersi nela realtà tangibile, pur seguendolo nell'ordine numerico, marcando la materia nei 4 Elementi, le 4 direzioni dello spazio come pure le fasi del tempo e di ogni frequenza ondulatoria. È ad es. il tetraedro, base del DNA, e si moltiplica per i versanti del triangolo dando forma e funzione al sistema stagionale zodiacale.
Lo segue il pentagono, sinonimo di movimento e vita, sviluppo ed evoluzione di ogni forma e fenomeno, come mostra il percorso fin qua seguito.
Merita rimirare la grande piramide, della quale il quadrato è la base, il triangolo l'altezza ed il pentagono la comunione spaziale dei quattro angoli con il vertice.
tangenzialità al pentagono
dai cerchi aurei del triangolo
Un'ultima curiosità: a differenza di quanto abbiamo visto nelle figura in prima pagina sui cerchi aurei nel pentagono, che vede il cerchio maggiore circoscritto al poligono, per cui solo il 1° ed il 3° toccano punti apicali del pentagramma, esaminando il loro impianto rapportato al grande triangolo ricavato dal rettangolo aureo, e nello stesso magnifico schema il pentagono da esso derivato, cioè con lato del convesso uguale a quello minore del rettangolo, e lato del concavo uguale a quello maggiore del rettangolo, si può rilevare la tangenzialità del 2° cerchio, in rapporto Φ, con due lati opposti del pentagono; nonché la tangenzialità del 2° stesso cerchio il cui centro sia spostato verticalmente sulla circonferenza Φ3 risultando in tal modo tangente alla circonferenza Φ2, ai due lati superiori contigui del pentagono.