@ Spirale aurea,
la molla del Creato

La soluzione integrale delle Spirali Auree


Al termine di questo non esiguo lavoro di ricerca, fatto di approfondimento, im­prov­vi­sa­zio­ne e sorprese più o meno eccitanti, convinto di aver esperito ogni ar­go­men­ta­zio­ne utile o necessaria, ero destinato a scoprire proprio in vir­tù delle insistenti verifiche, che avrei potuto servirmi direttamente della for­mu­la impiegata per i confronti di accuratezza quale unica autentica realizzazione.
la tempesta perfetta
Una tempesta dovuta alla mia lontananza dal terreno scolastico, fatta di ten­sio­ni protratte giorno dopo giorno, che forse traspira da queste pagine, per l'insicurezza derivante dal vortice in cui mi ero intrappolato con tanta di­sin­vol­tu­ra, ha tra­sfor­ma­to l'ispirazione come in uno sprazzo di bol­li­ci­ne che su­bi­ta­neamente s­i ricompongo­no nella calma della risoluzione.
È così che definisco la formula parametrica unica, la più semplice ed ef­ficente – che alcuni autori preannunciavano piuttosto complicata rispetto a quella delle coordinate polari – senza limiti di grado intero o frazionato, né di ap­pros­si­ma­zio­ni se non quelle dei cal­co­la­to­ri. Insomma un'equazione piana, e­stre­ma­men­te sintetica e subito applicabile, che sottrae alla mia mente il coraggio di chiedersi come mai non ci abbia pensato prima: 
R = Φ ±P/n       R = φ ±P/n
  • ±P rappresenta un Punto, o Posizione o Processo o Plot della spirale, un nu­me­ro reale, intero o frazionario, positivo o negativo, idealmente il gra­do, ma di una scala infinita oltre ±360°, poiché come avevo pre­mes­so è il pun­to forte della formula: rappresenta un angolo in gradi, della serie:
    for (var P = 1; P<= SpirLen; P += 1) con­vertito dal calcolatore in modulo di 360 per il computo di sin() e cos(), ma con l'assoluto pri­vi­le­gio di man­te­ne­re la lunghezza raggiunta dal raggio per il numero di ro­ta­zio­ni im­pli­cate.
    In questo contesto operativo non interviene il π, non fosse altro per il fatto che in nessun punto il raggio è uguale ad un altro; e se è pre­sen­te in for­mu­le che definiscono la spirale aurea – tranne servire per la conversione da radianti a gradi – si tratta di utilizzo i­nap­pro­priato o superfluo.
    Naturalmente P, sempre positivo, applicato a Φ renderà una spirale in con­tra­zio­ne, in espansione al φ. Nel primo caso tende al punto di Inizio, quel solo punto, in accordo al Modello Cosmologico Standard, nel quale l’U­ni­ver­so era così piccolo da restare un inimmaginabile concentrato.
    Definito “Singolarità”, conteneva tutta la massa e l’energia che com­pon­go­no l’Universo co­no­sciu­to, in inconcepibile densità. Sarebbe il Big Bounce, che avrebbe pre­ce­du­to l'inflazione del Big Bang, il secondo caso nella no­stra vetrina, vet­to­re di una dilatazione senza orizzonti.
    Proprio come agli ‘estremi’ della spirale.
    Al centro minimo del PDF (max. zoom) è visibile una porzione di spirale ag­giun­ta in filetto sottile mediante la prima delle due partiture (Φ - i suoi nu­me­ri saranno visibili in PDF), men­tre il resto è frutto dalla seconda (φ).
  • n rappresenta il numero di cerchi aurei che, secondo la mia notazione, una spira/rivoluzione com­ple­ta deve coprire, o se vuoi attraversare, diciamo il suo ‘passo au­reo’, ri­sul­tan­te dalla forma: 360/1, 360/2, 360/3, 360/4.
Nel caso più classico praticato, partendo da un punto della spirale il cui rag­gio sia R = 1, ai 450° avremo il Raggio:
R = φ±450/90 = 11,090169943749474234011639053357
ai 451° avremo il Raggio: 11,149625650030747658140248563255
e così via. Non occorre alcuna apposita costante, potendo modulare con 360°, 180°, 120°, 90° etc. qualunque passo e grado si voglia; e il risultato sa­rà quel­lo che deve essere per tracciare esattamente ogni spirale aurea.
Per ottenere le coordinate cartesiane dei punti di intersezione con gli assi ba­sta ovviamente applicare alle formule l'angolo voluto, ed il rag­gio cor­ri­spon­de­rà ad x (con sin() = 1) o y (con cos() = 1).
Tali dati essenziali possono essere rilevati con il pulsante [quad#] per ogni tipo di curva. È forse questa l'alternativa? o questa, in toto? tra le più serie.

Non cancello nulla della prima maniera dallo script, fosse anche a sola [mia] me­mo­ria dell'impegno profuso, giacché essendo stato pro­gram­ma­to con un pre­ci­so intento, oltre a do­cu­men­ta­re un elementare e non accademico per­cor­so lo­gi­co­-in­tu­i­ti­vo, il JavaScript è molto versatile nell'offrire controlli in­cro­cia­ti, e po­treb­be tornare utile a chi volesse ri­pro­dur­re con­ve­nien­te­men­te spirali au­ree vere in un ambiente o­pe­ra­ti­vo che non di­spon­ga di fun­zio­ni di calcolo a­van­­zate.
Il sorgente è disponibile con licenza MIT a chiunque desideri servirsene e/o ri­pro­dur­lo, pur­ché ne citi la fonte nel testo leggibile:
https://pi-day.eye-of-revelation.org – © The Watch Publisher, 2022
Ho anzi aggiunto alla lavagna di calcolo allestita l'opzione α per riprovare anche la prima maniera e po­ter­la raf­fron­ta­re, anche aprendo la stessa pa­gi­na su due finestre separate e lan­cian­do le procedure fino a visionare le due di­ver­se liste (con lo stesso raggio di partenza).
Cliccando il simbolo si colora di rosso ed attiva la modalità sommatoria, fino al controllo lista sintetica o totale; dopodiché si disabilita, fino a nuova ri­chiesta.
Se l'opzione è attivata, al comando [full#] la misura del raggio al grado 1° in lista e­qui­va­le naturalmente alla costante d'in­cre­men­to a­de­guata a quel tipo di spira.

Esaminiamo nei dettagli tale distinzione di tipologie di spirale aurea, l'una più armoniosa ed espressiva dell'altra, distinzione sol­le­va­ta fin dalla prima sco­per­ta e di­vul­ga­zio­ne dei quattro cerchi de­li­mi­tan­ti il grande triangolo (anno 2002), con dia­me­tri l'un l'altro in scala φ in e­span­sio­ne, o Φ in contrazione, (cfr. an­che le pagg. 9 e 13 del trat­tato) i quali, con­cen­tri­ci, e­vi­den­ziava­no de­ter­mi­na­te ca­rat­te­ri­stiche dell'evoluzione au­rea, in special modo nel­l'ar­chi­tet­tu­ra dello Śrī Chakra yantra, già citato (e scaricabile); dunque:
  • la più compatta, le cui spire intersecano al grado zero ciascun suc­ces­si­vo cerchio aureo ogni 360°, amplificandosi in lunghezza circolare in ra­gio­ne φ. L'angolo di intersezioni con i cerchi aurei sullo sfondo può variare se­con­do il raggio e la scalatura dello sfondo, ma risponde sempre al passo.

    Spirale aurea del passo
    di un cerchio aureo
La figura fornisce un esempio del­l'in­cre­men­to au­reo ap­pli­ca­to a cia­scu­na ro­ta­zio­ne com­ple­ta a 360°, che equivale ad e­span­de­re la cir­con­fe­ren­za dal rag­gio di un cerchio con­cen­tri­co a quello suc­ces­si­vo (o pre­ce­den­te) stanti in pro­por­zio­ne au­rea.
È la circonferenza~spira com­ple­ta a 360° infatti che in questa mo­da­li­tà comporta un in­cre­men­to totale φ ad ogni giro, in ac­cor­do agli stes­si diametri dei cerchi aurei concentrici.
Sullo sfondo appaiono al tratteggio profili parziali dei cerchi aurei con­cen­tri­ci e, solo in zoom spinto da PDF, si leggono alcuni valori dei raggi alle in­ter­se­zio­ni angolari degli assi x e y (forse lo zoom del browser non ba­ste­rà), non­ché la griglia dei rettangoli.
Dato che la costante di incremento adottata in questa sede per il più ge­ne­ra­le consenso si applicava direttamente al 3º tipo citato (4. alla console; φ come ve­dre­mo), per que­sto script è soggetta alla riduzione fissa di 4√α.

È una conformazione di spirale, come la successiva a passo doppio, a­ge­vol­men­te riconoscibile in certi processi fisico-chimici o biologici, sebbene non sostitutiva dell'attesa spirale aurea.

Inserto postumo 2023 - 1a prova
la spirale aurea più compatta per
l'invertebrato terrestre più lento
Alle ul­ti­me fasi di que­sta ri­cer­ca – in­te­sa a di­mo­stra­re la com­ple­ta in­di­pen­den­za del­la spi­ra­le au­rea da quel­la co­mu­ne­men­te de­fi­ni­ta lo­ga­rit­mi­ca, non­ché del­la ra­tio au­rea na­tu­ra­le dal­l'ar­ti­fi­cio nu­me­ri­co di Ne­pe­ro – avrò iplementato una la­va­gna in­te­rat­ti­va, dap­pri­ma per po­ter spe­ri­men­ta­re i mo­del­li di spi­ra­le au­rea qua de­fi­ni­ti, con vari sta­di di do­ta­zio­ne, e suc­ces­si­vamente una più a­van­za­ta, che con­sentisse di ca­ricarvi im­ma­gi­ni sul­le qua­li spe­ri­men­ta­re ogni tipo di spi­ra­le pro­posto.

A lavoro completato e testato, questa è la giusta vetrina per alcuni risultati che ne provano la validità degli enunciati.

  • La seconda, intermedia, le cui spire si amplificano in lunghezza circolare in ragione φ ad ogni 180°, saltando perciò da un cerchio aureo ad in­ter­se­ca­re ciascun 2º cerchio successivo in rapporto aureo allo stesso grado di partenza.
Spirale aurea del passo
di due cerchi aurei
Era ottenibile e­gual­men­te con un au­men­to lineare del raggio, mol­ti­pli­ca­to ad ogni grado per la co­stan­te di cui sopra, in que­sto ca­so ridotta a 2√α per rad­dop­pia­re il passo del­la pri­ma.
È una via di me­dia­zio­ne tra Φ e φ, che rilette su ogni o­riz­zon­te, o asse, un rapporto au­reo bi­lan­ciato in alterna­ta sim­me­tria tra i vari punti di in­ter­se­zio­ne:
0.618 · 1 · 1.618  e dopo i 180°:
1.618 · 1 · 0.618. Nel PDF è facile raffrontare ad inizio spirale le rispecchianti posizioni del φ con le precedenti.

  • La n°3. (quarta in ordine di tabella), le cui spire si am­pli­ficano per lun­ghez­za circolare in ragione φ ad ogni 120°, saltando perciò da un cerchio ad in­ter­se­ca­re allo stesso grado ciascun 3º cerchio suc­ces­si­vo in rapporto aureo, non pre­sen­ta particolari motivi di spicco.
    Lo stesso si può osservare con il divisore a 270° [5.*], ove la spirale rag­giun­ge il 3° cerchio aureo con quattro rivoluzioni. Di questo lascio la visione al test interattivo.
Spirale aurea del passo di
tre cerchi aurei
Era e­gual­men­te frutto di un au­men­to lineare del raggio, che da 1 sarà φ a 120°, mol­ti­pli­ca­to ad ogni grado per una co­stan­te in que­sto caso a (4√α)3.
Non saprei quanto possa ri­ve­lar­si significativa, poiché la ra­tio pri­o­ri­ta­ria è 1=>2=>4 al rad­dop­pio, non 1,2,3,4; ma vale ad e­vi­den­zia­re la flessibilità del­la for­mula e forse della ricerca.
La si può ritenere una pro­por­zio­ne degna di ri­por­to, in­te­gran­do la serie aurea che e­vi­den­te­mente non si limita ad una singola espressione del φ, per quanto suf­fra­ga­ta per la sua più rapida scoperta.
Inserto postumo 2023 - 2a prova
Fossile a spirale aurea, con
ritmo φ di 3 cerchi aurei/4
La 3. e la 6., così mar­ca­te nel­l'or­di­ne dei pul­san­ti, sem­bra­va­no non ri­ve­sti­re al­cu­na pe­cu­lia­ri­tà; ma ar­ti­co­landosi su mul­ti­pli di φ, tan­to va­le­va ren­der­le vi­si­bi­li onde po­ter­le com­pa­ra­re in na­tu­ra. Ma da una ri­cer­ca tra le foto al­ter­na­ti­ve ai tan­ti Na­u­ti­lus e su­bi­to di­spo­ni­bi­li, ecco una con­fer­ma del­la 6, più an­ti­ca del­la no­stra ge­o­me­tria, che può ben so­sti­tu­i­re il gra­fico.

Ecco ancora una chioc­cio­la con una spi­ra­le com­pa­ti­bi­le, ma che si e­sten­de sul lato e­ster­no pro­ba­bil­mente a ca­u­sa del­la pro­spet­ti­va tri­di­men­sio­na­le che na­scon­de il mag­gio­re svi­lup­po in pro­fon­di­tà del­la vo­lu­ta mag­giore, che nel­la foto è sem­pre meno vi­si­bi­le, anzi è qua­si schiac­ciata.
Che prestazione ammirevole questo bel tipo!
ancora φ ad ogni 3° cerchio aureo con quattro rivoluzioni.

Questa conformazione, che inizialmente sembrava secondaria o accessoria, si rivela una tra le più ricorrenti, almeto tra alcune forme a­ni­ma­li, men­tre quel­le vegetali tendono ad espansion assai più ampie, verosimilmente in accordo ad uno sviluppo più rapido ed esteso.
La sua connessione fra 3 e 4 non può non sottolineare a maggior ragione la qua­dru­pli­ci­tà sta­gio­na­le dei quattro Elementi, che si configura articolandosi sui tre livelli del circuito zodiacale.


la Spirale Aurea per eccellenza

la Divina Proporzione nelle spirali auree