una formulazione teorica
La ricercata soluzione della spirale aurea
Prima di riproporre sotto nuova luce la più celebrata e significativa, quella spirale il cui rapporto di espansione/contrazione si rifà al φ per ciascuna delle quattro fasi del cerchio, e quindi di φ4 ogni 360°…
Giunto a questa fase della mia esposizione che ha coinvolto la spirale, sperando di poter suggerire una valida e pratica sostituzione delle propagandate soluzioni spicciole, pensai di fornire un prototipo che completasse quelle prime osservazioni sulla falsariga di quanto introdotto brevemente nel trattato sul π; ma, pur avendo insistentemente cercato sul Web e tentato delle indicazioni per una formula accessibile, che mi consentisse di riprodurre la spirale parametrizzata su un sistema di assi cartesiani in PostScript che, come la più parte di chi legge, non è pratico di coordinate polari, non ho trovato che disparate notazioni da elementari a complesse, poco o non abbastanza chiare e per me sùbito riciclabili, con laboriose conversioni, forse non sempre testate e meritevoli (è raro che il matematico e webmaster siano la stessa persona, o che la competenza sia biunivoca).
E a latere, fiumi di codice per concretizzare l'output di una spirale fatta in casa.
Per concludere tout court allo scopo illustrativo, dapprima mi risolsi ad ideare un nuovo algoritmo, che consentisse di esaltare in modo più veritiero le dinamiche proprie della sezione e spirale aurea, che senza passare dalle formule di sequenze logaritmiche, prevedesse un tracciato continuo, basato come in precedenza su un lineare incremento del raggio moltiplicato passo passo per una costante fino all'espansione desiderata, rendendo il tutto chiaro ed applicabile anche da profani, visto che tutti ne fanno scuola.
La formulazione iniziale era concettualmente e dal lato esecutivo la più lineare, ripetendo da un punto di partenza x,y [moveto] fino al termine stabilito e senza intermezzi le segg. tre istruzioni:
D[egree] += 1 (or π/180 for radiant)
R[adius] ×= α [alpha Constant]
per poi approdare, in ultima analisi, ancor più direttamente a:
R = αD
lineto sin(D) ×R cos(D) ×R
Una modalità di sviluppo non del tutto ortodossa, ma che consente, trovata la costante, di istituire appropriatamente una sorta di nuova definizione, come quella di “spirale di 360°, 720° o 1999°…” destinata, come emergerà a fine corsa, a tradursi in un aiuto prezioso per una soluzione tecnicamente ideale.
Ma seguiamone per ora una prima maturazione.
Pur consapevole di inevitabili compromessi, come l'accumulo di approssimazioni, miravo in prima ed isolata istanza - lo ripeto - a scavalcare le più diffuse figurazioni erronee, ed anzi a ricondurre l'attenzione sugli aspetti aurei di nuova evidenza, dopo aver rilevato/rivelato i quattro cerchi proporzionali alla base del mio studio sul grande triangolo aureo; e vedremo come questo potrà integrarsi nella teoria e nella pratica.
Ripercorriamo anzitutto concetto e principio della sezione aurea, per poi ridefinire cos'è Phi Φ nel nostro studio. Grazie al modo più rapido e diretto per rappresentarla, rispetto a quello dettagliato anni addietro nel mio dominio golden-ratio.eye-of-revelation.org ho inteso inoltrarmi nella sua descrizione geometrica e matematica, non essendo possibile a dimostrarla geometricamente, ossia con righello e compasso, cosa che non ho ancora potuto reperire in alcuna esposizione tra le tante in voga, poiché evidentemente il suo tratto grafico deve avvalersi del computo numerico per essere validato come aureo. Sono svariati gli schemi grafici usuali per costruirla, ma nessuno dimostra la Divina Proporzione se non ricorrendo ai numeri.
RATIO AUREA UNITATIS
Partiamo allora dalla base: il contesto più semplice e rappresentativo è quella di un segmento SU di lunghezza1, l'unità, suddiviso in due tratti SA ed AU, di cui è noto che il primo (maggiore, Φ) è medio proporzionale tra il secondo e la loro somma unitaria: la lunghezza SA rappresenta quindi Φ = 0.618.
Ottenerlo graficamente è facile:
basta farne la base di un triangolo rettangolo con altezza uguale a ½ della base. Non mi dilungo troppo sulla procedura per costruirne uno con righello e compasso, ma la espongo a lato, essendo una fase elementare, qua non significativa.
Cerchi con raggi
AB su gli estremi A e B per ottenere l'asse mediano c, quindi cerchio su B, raggio AB/2 e prolungamento Bd per i due nuovi cerchi che forniranno l'asse mediano e su cui il vertice T del triangolo rettangolo ABT con l'altezza uguale a metà della base.
= 2 e lato o altezza = 1, semplificando la formula ad un solo divisore 2.
Un arco con centro al vertice
M taglierà l'ipotenusa – che in tal caso vale √5 – proprio nel punto P, per cui essendo PM = 1, SP equivarrà alla sezione aurea Φ della lunghezza 2, senza bisogno della divisione.
La figura ottenuta contiene già gli estremi del rapporto aureo completo, in quanto
SP : SU = ΦU : ΦS e rappresenta perfettamente la formula classica (√5 -1) su base 2 .
Naturalmente anche da questo modello si può derivare il grande triangolo aureo, quello la cui base è sezione aurea della somma dei due lati, e non di uno solo, che ho potuto definire “il terzo tesoro della geometria” giacché contiene il π. Equivalendo detta somma dei lati a ½ della circonferenza circoscritta, se questa ha diametro = 1 la somma vale π/π effettivo (oltre a risolvere la famigerata quadratura del cerchio).
Tutto questo è esposto con valutazioni sufficentemente oggettive nella mia trattazione «2x2=3.14» pubblicata presso il dominio dedicato.
A tal fine, una circonferenza con centro in P e raggio PS andrà ad intersecare il prolungamento di SM nel punto Sx2, per cui S-Sx2, ovvero il doppio di Φ sarà la lunghezza della base del triangolo da definire, del quale abbiamo già con SU uno dei lati simmetrici.
Basterà quindi definire il punto T, di intersezione dei due archi: il primo con centro in U e raggio US che reca la lunghezza dei lati UT, il secondo con centro in S e raggio Sx2, per stabilire il vertice di incontro della base ST con il lato mancante UT.
Inoltre offrire il modo di verificare graficamente l'unicità delle proporzioni.
1 e l'altezza a 0.5? per il teorema di Pitagora avremmo 12 + 0.52 = 1.25, che equivale a 0.25 × 5, o ancora: 0.05 × 5 × 5, ovverosia: 0.5 × 0.5 × 5 quindi in modalità più elementare:
√ [0.05 + 0.05 + 0.05 + 0.05 + 0.05] + 0.5 + 0.5 = 1,118,
insomma
√ 0.52 × 5 su base 1 ,
che ± 0.51.618 e 0,618, i quali moltiplicati tra loro fanno 1.
Una scomposizione ai minimi termini che si potrebbe considerare banale, se non rendesse palese il come:
Si direbbe che l'entità √5 si scinda idealmente in 2 metà,
ad una delle quali sottrarre 0.5, per aggiungerlo all'altra.
Merita focalizzare ancor più attentamente le potenzialità del numero
- Da
5a√5– Alle sue radici, come ipotenusa nella figura esaminata, sta la somma dei due valori:12 e 22: l'Unità originaria [verticale] immutata ed immutabile, si manifesta nella bipolarità del2, dando luogo al dualismo che si ‘contempla’ nel proprio orizzonte ed equilibrio: l'unico numero che sommato o moltiplicato o elevato a se stesso dà sempre risultato identico; un tratto metafisico, ma anche solo semantico, di non poco conto per chi sa leggerlo.
Applicando a questa formazione primigenia il meraviglioso enunciato di Pitagora, che la definisce per la sua radice quadrata, ecco attuarsi la miracolosa Proporzione Aurea, alla base di tutto il creato.
Di tale espressione sublime, il naturale ed autenticoπ - Da
√25a5– All'opposto osserviamo il suo valore esecutivo, o radicale, risultante dall'applicare lo stesso principio pitagòrico al radicando52quale somma di32+42, le cifre subito succedenti (altro caso unico nella sequenza numerica), a loro volta fondanti la dinamica dell'esistente quali vettori astratti ma vitali di energia e massa, del periplo ondulatorio, stagionale e zodiacale (3 × 4 = 12, tetraedro e DNA), tanto per saltare tout court da un estremo all'altro.
√5/2 - 0.5 è:
Φ × (1 + Φ) = 1
che già di per sé condensa mirabilmente Uno? ], riconduce all'equilibrio assoluto dell'Unità originaria (anche se poi i più avanzati calcolatori non ci arrivano, se non per approssimazione forzata):
| Φ × (1 + Φ) = 1 | 0.618… × 1.618… = 1 | (φ - 1) × φ = 1 |
| Φ + Φ2 = 1 | 0.618… + 0.382… = 1 | φ2 - φ = 1 |
Una rinuncia ben motivata?
Ho sottolineato l'espressione ‘in modo inverso’, che di solito sfugge ma è in intrinseca evidenza nella tabella soprastante, poiché credo di intuire che sia la ragione per cui non ho potuto a dimostrare la Divina Proporzione con mezzi di pura geometria strumentale, così come mi ero ripromesso.Forse è proprio questa divergenza di polarità intrinseca che lo rende praticamente impossibile – parallelamente a quella del π – benché della sezione aurea si sia ottenuta la definizione grazie ad una semplice formula algebrica.
Tutte le strade tentate conducono all'evidenza e corrispondenza visiva ed intuitiva, ma senza il beneficio di una dimostrazione oggettiva assoluta.
Ritornando alla figura soprastante, ecco invece il motivo che mi ha spinto ad approfondire ed esaltare la speciale convergenza numerica in tale rapporto.
|
Oltre all'importanza della forma pentagonale, già esaminata nella sezione postuma dedicata alla G5 è il fattore portante del suo sviluppo algebrico, non può che proiettare l'attenzione alla sua maggior valenza rispetto all'argomento 4, su cui si basa la più diffusa simulazione aurea della spirale.
Tale primarietà emerge dallo studio approfondito delle spirali auree, sviluppato a seguito, che mostra e dimostra come la figura pentagonale contenga la base del suo sviluppo geometrico e fisiologico in natura, più del quadrato che contiene la sezione aurea solo indirettamente.
In altri termini, la Proporzione Divina trae origine dalla sezione aurea di un segmento, che in due semplice tratti [cfr.:
SAU] ne contiene tutti gli estremi, e non dal suo prolungamento.Φ .618 1 |
1φ 1.618 |
1.618: φ la definizione propria della Sezione Aurea: né dovrebbe essere considerato tale, ma solo come 1 addizionato a Φ, dunque di per sé non l'argomento primario ma il suo primo derivato, come dire da radice: Φ a sviluppo: φ = 1 / Φ; esso è un'applicazione della sezione aurea, e non vale il contrario, anche se poi ne assumerà ripetuta importanza; in effetti Φ basterebbe in ogni direzione, moltiplicato o diviso, una priorità che diverrà esclusiva nel momento in cui il 7.8615… (sua radice quadrata, la cui radice quadrata è il lato del quadrato con la stessa area del cerchio) verrà in qualche modo identificato e riconosciuto come il π, un'interdipendenza evidenziata per la prima volta in questi miei studi.
È interessante notare che similmente, 1.618 al quadrato diventa:
φ¹; = 2.618 e che Φ¹; + φ¹; = 3.
Dulcis in fundo,
Φ × 2 +1 ovverosia Φ + φ = √5, la chiave di una prossima interessante applicazione.
Al pari del π, è come un perenne ago della bilancia attivo o latente in qualunque passaggio, dall'infinitamente microscopico all'intero universo, garantendo l'equilibrio ed il raccordo di qualsiasi sviluppo e la compatibilità tra le parti e i conglomerati più vasti e distanti; per questo è chiamata Divina Proporzione; ed ogni sua concretizzazione a spirale rappresenta l'espressione avanzata e vitale di tale anima matematica, se tale si può definire il modulo di un sistema di calcolo che non è decimale, né binario, né di qualunque cifrario definibile, se non di una misura in tutto per tutto trascendente, unità di misura celeste, insita e promanante dall'Unità Creatrice.
gli Sviluppi della Spirale Aurea
Per cominciare, se l'intelaiatura, che chiamerò anche gabbia di quadrati e conseguenti rettangoli viene in genere rappresentata con i lati tangenti alla spirale, o con intersezioni ai quarti angolari, è soltanto per la deviazione intervenuta dalla costruzione progressiva dei rettangoli aurei, di forte valenza ispiratrice, di poi dal conseguente [ab]uso degli archi di cerchio; non potendo la curva toccarli partendo dal suo unico centro con raggio ad es. uguale ad 1, come nella nostra figura, ma solo con un raggio o una scala appositi, mantenendo per default la linea del raggio iniziale parallela all'asse x.
Il divario appare evidente esaminando fino in fondo (cioè con un buon lettore - la figura è di prima maniera) il diagramma PDF.
Così in questo caso la spirale verrà tracciata in una rispondente scala 1:7,663.
A dispetto dell'intervenuta critica all'impiego del compasso sui quadrati, esporrò in questa pagina e per prima volta due aspetti reconditi della spirale aurea, che consentiranno un approccio inedito: il primo informatico-matematico, il secondo geometricamente rivelatore, valorizzando di per sé proprio questa intelaiatura di partenza.
la mia prima formulazione: algebrico-grafica
Sotto il profilo pragmatico si trattava quindi di definire quella costante che alimentasse la dilatazione progressiva della curva, da 1 a φ4 secondo un passo prefissato, dando adito ad un algoritmo che sostituisse con facilità, con gli stessi strumenti informatici di cui in fondo tutti si servono, l'uso di riga e compasso.Scelto il passo di 1 grado e, con qualche inoltrata ricerca sono giunto a quella costante
a = 1,00536111768685835835952555755714
che incrementa il raggio, moltiplicandolo iterativamente nella forma:
R *= a, per generare nel suo sviluppo grado per grado la sequenza spirale aurea voluta, non solo con precisa evoluzione φ ad ogni quarto di cerchio, ma anche nelle sue opportune varianti, come si può verificare dai seguenti grafici che ho reso appositamente interattivi; dei quali chi è abbastanza pratico può leggere senza difficoltà il codice javascript interno ed accessibile con licenza MIT.
Non so quanta precisione i vari ambienti di sviluppo potranno utilizzarne.
Il miglior valore conseguito dal javascript dovrebbe superare i 10 decimali, ove il software usuale comincia a ritirarsi (ma in astrofisica pare si accontentino di 8).
Tale parametro produce infatti una sequenza arrotondata dall'interprete nei termini di cui riporto un succinto paio di punti indicativi, ad un accumulo di 1080° visibili anche nel PDF:
1080° 1,00536111768685835835952555755714^1080 = WIN: 321,99689295855895977188087280243 [φ12 321,99689437998485765289480710049] JS: 321.99689295858394 EU: 321.9968943800276 PS: 321.983 1440° 1,00536111768685835835952555755714 ^1440 = WIN: 2206,9995339060154982110049085301 JS: (const. 1.0053611176868584) 2206.9995339062443 EU: (const. 1.005361118) 2206.99954689653600
L'accuratezza ottimale per lo script testé eseguibile risulta tuttavia accreditarsi intorno a
1.005359, per la quale le curve sia in modalità sommatoria che esponenziale si sovrappongono senza scarto apprezzabile, mentre un minimo sarebbe visibile con la costante completa.
Quel gap minimo mi fa ri-pensare ad un difetto fisso, implicito nell'aumento digitale del raggio, non governato dal π… ma questa è una storia già discussa sul π.
È più che sufficente (e mai richiesta o convalidata nelle demo reperibili, che non oltrepassano i 3 decimali di unità), superiore a qualunque necessità da parte delle prestazioni correnti; senza contare che 5 decimali su un intero di 3 o 4 cifre restano validi, nonostante si debbano fare i conti con un ripetuto arrotondamento nella Sommatoria per moltiplicazione, per cui PostScript e C ad es: possono produrre risultati lievemente differenti a livelli microscopici; in particolare nell'estendere / contrarre i diagrammi con degli zoom estremi (fino a 6400% su una pagina di 6.900 × 4.800 pt), che mettono alle corde calcolo e ridimensionamento di micro e macro-curve.
La costante, pur a scartamento ridotto, mantiene ampia precisione anche per spirali qua testabili e superiori a 5700°; ma per fugare ogni dubbio esecutivo sull'accumulo, ho immaginato di poter riassettare il valore del raggio alla potenza di φ secondo l'intervallo voluto, e continuare la conta dei gradi senza che il grafico ne risenta… e proprio questo paradosso indirettamente mi ha condotto sulla via maestra.
Tanta fatica infatti, per realizzare che la spirale aurea si riassume ad una funzione esponenziale, in es. con base:
1080√φ12 cioè a dire:(90×12)√φ12.
con un risultato da Windows® calculator [scientific] in effetti maggiore di
0,000000000004…
[0,00000000444… solo per potenza di 12, a 1080°, evidente limite software] rispetto a quello che avevo calcolato con i miei metodi e strumenti.
Ciò attesta infatti l'inevitabile imperfezione di calcolo anche scientifico e fino a 32 decimali, che non può sostituire il Φ reale, ed echeggia la stessa che interviene con l'uso ripetuto di formule che contengano un π artificiale.
Con i miei stessi JavaScript offro il modo di verificarne la rispondenza.
Ho voluto chiamarla
α ‘Alpha’, come la prima pietra armonica dell'immenso edificio onnipresente; ma è pur sempre una pietra che potrebbe non reggere un grattacielo.
dalla teoria alla pratica
Una procedura di calcolo grafico che debba fare i conti con i pixels, dal tratto minuscolo al molto grande nella stessa schermata non può non scivolare in compromessi. Siamo già pieni di figurazioni con curve spesse e poco decifrabili, tecnicamente inaffidabili o inutili; da parte mia ho cercato di mantenere ben visibili tutti i dettagli, affinché farsi un'idea di eventuali difetti possa condurre a risultati certi nello sviluppo di concetti appropriati.In questo caso specifico della spirale, come ho premesso, non avevo inteso riprodurre formule già note, ma avventurarmi in un approfondimento concettuale che possa smantellare superficiali divulgazioni ed avvalorare, forse riscoprire e meglio comprendere, le carattteristiche intrinseche di tale sviluppo celestiale. Alla fine con maggior successo di quanto supponessi, ma intanto ho preferito correre il rischio, e mentre la sua proposizione - superata in questa stessa pagina - potrebbe non interessare, se non allo scopo che mi prefiggevo, parla da solo il risultato grafico sugli assi cartesiani.
Eccola quindi operativa in questa pagina, nelle sue varie conformazioni. Con il centro in
x=0.4472135954999579 y=0.7236067977499789, coordinate in rapporto aureo tra loro e traslazione che identifica rispetto al punto zero del sistema cartesiano (una crocetta bianca), il centro della spirale (un cerchietto rosso al massimo zoom), dalla quale parte il raggio (vedi diagramma pdf); quel punto sottolineato pure dallo scrittore e saggista Clifford A. Pickover come “occhio di Dio”, quale centro infinitamente irraggiungibile dalla spirale dei rettangoli convergenti.
Ogni spirale rappresenta un processo aperto, dagli estremi indeterminati, al quale è possibile riferirsi solo da lontano come ad una circonferenza, in quanto che non racchiude alcuna area.
Pur attirando la maggior attenzione quella ispirata dall'avvicendarsi in scala dei rettangoli aurei, con perni ai vertici dei quadrati da cui derivano, quindi con passo φ¹;, le molteplici possibilità di sviluppo della spirale aurea, cioè il rapporto del suo avvolgimento/svolgimento con la proporzione aurea, si rifanno al quaternario anche trasversalmente, ovverosia con almeno altre tre modalità fondamentali, derivando dalla suddivisione del cerchio di 360° per 1, 2, 3, 4, e vedremo anche 5. Principalmente dal conseguimento di un raggio vettore, in aumento o riduzione, di un successivo rapporto { 1 × 2 = 2 × 2 = 4 }, di φ o Φ con la sua misura di partenza o riferimento, ed ecco che potrai sperimentarle direttamente su questa apposita lavagna grafica: 1. quella per cui tale valore è raggiunto dopo una rotazione completa
2. quella per cui tale valore è raggiunto dopo una mezza rotazione
4. quella per cui tale valore è raggiunto dopo un quarto di rotazione
5. assolutamente quella che giunge al φ ad un quinto di rotazione:
7. quella per cui tale valore è raggiunto con due quinti di ruota.
8. con questa il φ è raggiunto ad ogni multipli di 360°.
Δ
±
α
vista avanzata:
Il pulsante [console] aprirà un pannello [tab] esterno della console grafica, molto più ampia ed indipendente.
o il comando "Back", secondo il browser.
Nota che il computo totale per la lunghezza di spirale definita può superare il limite di output grafico del quadro, fornendo i dati per qualunque lista, fino a che il software di base lo consente (lunghezze eccessive possono essere ignorate). Allo stesso tempo, [module#] (diverrà ) risponderà solo in presenza di intervalli interi, corrispondenti all'ultimo modulo lanciato.
Il pulsante [±] invertirà il moto della spirale per il raggio dato: verso il centro se il numero di lunghezza è positivo, e con la stessa direzione rotatoria, completando eventualmente la stessa spirale già tracciata in espansione (se) con un ampio raggio di partenza.
Anche se la visibilità della spirale dovesse risultare praticamente nulla, come un minuscolo cerchietto colorato al centro, calcoli e tabelle verranno eseguiti.
Introducendo invece un numero di lunghezza negativo si otterrà pure un tracciamento inverso, ma in tal caso verrà chiesto di introdurre un raggio di partenza adeguato alla visibilità, con una lunghezza che può anche essere maggiore della finestra, e la rotazione risulterà contraria partendo dal medesimo punto di inizio. Si noti che i due comandi insieme si compensano.
Per introdurre numeri frazionari usare la virgola o il punto secondo la regola del browser.
L'opzione verrà motivata più avanti.
Se non è attiva, è disponibile l'opzione di incremento
Δ, che consente di inserire un valore parametrico anche decimale, come unità di salto del tracciato da un grado all'altro, e può essere ad es: 0,5° o 24° o 48°…, ottenendo curve fatte di segmenti più o meno visibili, con le relative liste di calcolo. Nella versione finale, con un valore negativo si otterrà una curva tratteggiata a segmenti alterni.
L'angolo di intersezione dipenderà dal raggio iniziale, che svolge implicitamente una funzione di zoom, sia grafico che numerico; va da sé che in qualsiasi caso il raggio non potrà mai essere uguale a zero, equivalente all'Origine metafisica! Allungando il raggio si estende graficamente la spirale anche molto, per cui il valore
Len potrebbe scavalcare invisibilmente la tolleranza prevista dal javascript per questa pagina, e non produrre output; può essere necessario ridimensionare i parametri.
Se il campo
Len risulta vuoto o 0, al lancio di una spirale assumerà il valore di default, introdotto per essere contenuto nel diagramma, puramente indicativo ma utile a valutare variazioni proporzionate, che non blocchino lo script. Attenzione però, poiché se non è azzerato, ogni spirale si regola con il parametro che trova, per cui se ad es: si è lanciata la 1/5 con lunghezza 935, lanciando poi la 3/4 con un raggio di partenza anche solo superiore a 5, non si vedrebbe niente. Testando tutti i pulsanti di spirale, con Rad=1 e Len=1000 tutto sarà più chiaro.
In caso di confronti con qualche specie biologica, per evitare deformazioni del tracciato teorico insite alle prime fasi della crescita, come vedremo più avanti, converrà far partire la spirale con un raggio abbastanza consistente, ad es: di 20 o 30, converrà ad una resa più realistica. Il pulsante [±], cliccando di nuovo la stessa opzione, consentirà di visionare la parte saltata.
Dalle prime prove successive apparirà infatti evidente che nell'evoluzione a spirale di qualsiasi organismo, il baricentro fisiologico può discostarsi dal suo punto di avvio, per dipendere sempre più dalla conformazione complessiva, alla quale si dovrà far maggior riferimento che non al centro virtuale della funzione geometrica.
Per non lasciar nulla al caso, a seguito di riflessioni filosofiche abbozzate a fine corsa, ho voluto introdurre un'opzione personalizzata @, a disposizione per qualunque prova di banco si possa avere in mente: consente di disegnare spirali con ogni sorta di passo, riducendo o aumentando il passo tramite il parametro moltiplicatore di 360° (la virgola rammenta che accetta frazioni decimali), che stabilisce il numero di rivoluzioni occorrenti alla spirale per intersecare ogni cerchio aureo successivo, ovverosia al raggio per ridimensionarsi in ragione di Φ.
In effetti, questa nuova modalità può simulare tutte le precedenti, dalle quali si parte e come tali restano da evidenziare; ad es: il multiplo 0.5 ripeterebbe l'opzione 2 per i 180°; e mentre 0.25 riproduce la 4, 0.3333, risultando 119.988° simulerà molto da vicino l'opzione 3 di 120.00°. Vedremo solo alla fine quella verosimilmente più importante, per 144.00°.
Un esempio particolare lo fornisce questa bella conchiglia che popola molti mari, dal cui centro sembra partire più di una spirale, di cui almeno due presentano parametri diversi, una portante lungo il bordo contenitore (rossa classica) con φ ai 90° ossia 0,25, ed almeno una interna contenuta (verde) con φ personalizzata ai 104.4° con 0,29.
Ciò mi ha dato l'idea di affidarle un colore a scelta tra quelli delle altre sette: adotterà il colore dell'ultima tracciata (anche solo per impostare il colore, e poi cancellata). Potrà rivelarsi conveniente con certe immagini di fondo, ciò che vedremo al terzo stadio di sviluppo del progetto.
Per un motivo parallelo, manterrà anche lo spessore dell'ultima traccia, ad evitare l'ispessimento cliccando più volte per testare nuovi parametri; e quindi solo per una prima curva.
Non bastando, ulteriori esperimenti mi chiedono di poter variare il colore sulla base delle immagini di fondo; ho quindi disposto che il colore della curva opzionale venga prelevato dal campo #HEX (già adibito allo sfondo della lavagna) ed abbia anche qua precedenza, se ne esiste uno valido.
Con tale combinazione, cliccando tre volte il pulsante 11 si triplica lo spessore della curva; per trasferirlo alla @. va cancellata con [×] per poi cliccare @. e la sua curva avrà lo spessore raggiunto. Un'ultima finezza consente, variando colore nel campo #HEX, di sovrapporre una nuova curva a quella spessa senza rotazione e senza variare i parametri, che non presenterà più spessore aggiunto, quindi apparirà incorniciata al suo interno.
In ogni caso il colore usato verrà trascritto in quel campo per poter essere variato agevolmente. Così qualsiasi tipo di curva può essere manipolato e riprodotto a piacere e con il colore desiderato.
A mio avviso una ricerca non meno interessante si profilerà nella contrazione del moto, sebbene tutto sia limitato in entrambe le direzioni dal dettaglio grafico, o dalla dimensione che il sistema in uso può supportare, fino a ridurre il tracciato ad un punto nero al centro (che può sfuggire). NB: un'eventuale mancata risposta, cioè nessun output, non vuol dire che lo script non funzioni, ma che i parametri immessi sono inadeguati, troppo grandi o piccoli per una resa visibile o applicabile allo spazio previsto; il che può non escludere le tabelle di calcolo, il cui controllo renderà la ragione.
Ad es: R:10 SpLn:999 e @:0,12, con SpLn:1999 non risponde più; poi confronta il ricciolo con R:5….
Attenzione soprattutto alla lunghezza con parametri di @. inferiori a 0,2!
Anche se con le istruzioni date non dovrebbe essere difficile riprogrammarlo in un ambito più soddisfacente, ritengo che l'impatto presente sia quel che più conta, di per sé già in grado di stimolare le maggiori riflessioni sull'argomento, alcune liberamente scaturite a fine presentazione, tra un paio di pagine.
aggiornamento febbraio 2023
Si trattava di comprendere che è la valenza del pentagono a dare spinta e progresso alla vita e non solo, ma che il parametro di
1/5 di rotazione che già mi aveva affascinato pur mantenendosi fuori da ogni contesto, non rappresenta che una faccia della medaglia.
L'altra, forse la più significativa per tutto il contesto della ricerca in natura, è data dal pentagono concavo o stellato, chiamato da secoli pentagramma con il più doveroso rispetto di filosofi ed occultisti, e ciò nonostante pressoché ignorato, poiché non offre un approccio elementare come quello del rettangolo, e tutt'al più incoronato da una spirale deforme e priva di sviluppo naturale.
Provvedo pertanto ad inserire un 8° pulsante alla console, che riporta con
2/5 [×360] il valore di 144° necessari al raggio per incrementarsi di φ.
Ho introdotto altre due opzioni, realizzate per proiettare vari tipi di spirale su immagini di molluschi, che presentano varie utilità nei confronti.
- La prima è trasparente, e prevede che ogni clic ripetuto sullo stesso pulsante, aumenti di un pixel lo spessore della linea ([Rot] deve essere = 0) .
- La seconda [Rot] prevede una rotazione del diagramma parametrizzata in gradi, che andrà a sommarsi a quella attuale, per cui ad ogni clic la spirale scelta verrà ruotata secondo il valore richiesto.
Se questo è attivo, cioè diverso da zero, lo spessore della linea rimane invariato, quindi può essere aumentato (da fermo) e poi mantenuto tale nella rotazione della stessa curva.
L'angolo ruota in senso orario e può essere anche negativo; (se il browser non l'accetta, per una rotazione antioraria [negativa] basterà aggiungervi 360).
Per applicare il quoziente ottimale, rilevato dopo un'applicazione multipla di rotazioni, basta cancellare le spirali precedenti cliccando [×] ed assegnare al campo [Rot] il valore totale, cioè la somma delle rotazioni precedenti.
Eccone un esempio applicato ad una tipica conchiglia del mare Tirreno (mytilus edulis); la spirale si dilata conseguendo il raggio un incremento φ ogni 36°, come espone il parametro 0,1 [×360], e si dimostra assai valevole, sebbene non inserita nell'elenco. (clic per ingrandire):
Anche questa ovviamente è una spirale aurea a tutti gli effetti; ha semplicemente un ritmo doppio di quella pentagonale, quello di un decagono in cui tutti gli angoli sono di 144º! come a far risuonare il ritmo di 2/5.
Una spirale ideale infatti per due valve dallo sviluppo speculare atto a racchiudere il mollusco.
E non dimentichiamo che si tratta della metà di una conchiglia bivalve.
Non ne fanno parte rettangoli né quadrati (il telaio di fondo è atto a definire il centro), ma ne è vettore solo l'angolo di 36°, che regola il vertice del triangolo stellare da raggiungere a traguardo di questa ricerca, e che potremo persino riconoscere come il traguardo aureo più ricercato.
A tal fine ho ripreso il primo modello sperimentato sul mytilus edulis e dimostrato sopra con uno strumento di prima composizione, per costruirne uno completo e versatile, sebbene tutt'ora rudimentale, abbastanza funzionale da consentire un approccio diretto on line.
Esso integra la console già proposta - ma che rimarrebbe un'esperienza astratta - con l'aggiunta di alcuni comandi necessari sia al caricamento e posizionamento di immagini, che alla manipolazione e all'adattamento su di esse delle spirali, fino a scoprire quella più confacente ai singoli casi.
Dato un inevitabile sviluppo continuato di questo dispositivo più complesso per funzioni e formato, destinato comunque ad utilizzatori abbastanza esperti, ho programmato una sola versione del pannello in lingua inglese, minimizzando la problematica del layout, e mantenendo accessibili anche eventuali stadi progressivi del suo sviluppo.
Per questo motivo la sua descrizione ha dovuto essere aggiunta alla precedente informativa di questa pagina, mentre un help contestuale è posto subito sotto la console stessa.
Era iniziata per mio uso, onde poter verificare e dimostrare quei princìpi geometrici che avevo focalizzato ed approfondito presso pi-day.eye-of-revelation.org; ma dopo varie implementazioni funzionali è divenuta uno strumento da cui tutti possono trarre vantaggio e conoscenza.
È importante tener presente che si tratta di una console sviluppata direttamente in HTML5 per una singola pagina web, quindi mantenuta essenziale nella disposizione e nello spazio utilizzabile. Pertanto si dovrà porre discreta attenzione ad un uso sequenziale e corretto degli stessi, poiché alcuni campi parametrici servono a più di una funzione e dovranno essere aggiornati passando dall'una all'altra; in caso contrario potranno verificarsi risultati inatttesi quanto scomodi (anche per chi scrive); ma il massimo rischio è di dover rinfrescare le spirali, o la pagina.
Per affrontarlo subito, alla tastiera già esistente è stato aggiunto - anche se da ultimo - il pulsante 
skew, serve ad inclinare le spirali orizzontalmente e/o verticalmente; un comando che dovrebbe essere usato per ultimo e per lievi adattamenti ad eventuali prospettive fotografiche tridimensionali.
È il più delicato e poco prevedibile da utilizzare, difficile ma in alcuni casi molto utile, per chi avrà pazienza.
La sua esecuzione attinge ai parametri introdotti nel campi zx ed zy (abilitati infine anche per modificare la prospettiva, come verrà spiegato più avanti) e per non lasciar troppa sorpresa, apparirà perimetrata da un tratteggio color rosa.
Poiché la sua immagine effettiva anche se trasparente è coprente, la sua area interna una volta attivata impedirà l'accesso a comandi sottostanti il suo perimetro, secondo la posizione.
In compenso potrà poi essere trascinato in qualunque punto dello schermo tenendo semplicemente il mouse cliccato su qualunque punto di quest'area.
Il cursore potrà sempre uscirne per cliccare comandi che gli sono esterni e, per maggiore comodità, toccandolo di nuovo lo riporterà automaticamente alla posizione d'angolo dello schermo.
Ora l'immagine: get+ invita a scegliere un file dal sistema o introducendo una URL. Verrà posizionata a x:15px, y:430px della lavagna nella dimensione nativa. Il browser può fornire o meno la sua ampiezza nel campo width, da cui la dimensione può essere variata proporzionalmente, e spostata secondo il numero di pixels introdotti in x e y; può anche essere ruotata, di gradi, semplicemente cliccando il campo numerico, mentre il pulsante alla sinistra ora può agire in modo indipendente per invertire (colore acceso) e visualizzare la direzione di rotazione della spirale, che può essere moltiplicata e sovrapposta in entrambi i modi.
Il tutto con il pulsante put, mentre la rifletterà orizzontalmente in modalità abbinata agli altri parametri, al fine di mantenere il posizionamento attuale.
Per una riflessione verticale basterà combinare quest'ultima con una rotazione a 180° [put: x=0, y=0].
Per annullare l'inversione orizzontale cliccare lo stesso pulsante.
Combinare tra loro varie opzioni ha avuto lo scopo di mantenere quanto più compatta la disposizione dei comandi, in una cruscotto adatto ad eseguire operazioni composite in modo pratico ed intuitivo, ma in una sola schermata HTML5; ed è in evoluzione secondo le necessità che emergono sperimentandole; poiché con la programmazione non è mai finita.
È tutto contenuto in tre pannelli orizzontali, il primo per tracciare spirali, il secondo per gestirle, il terzo essenzialmente orientato alle immagini.
Riguardo all'immagine da caricare, un consiglio per i più esperti sarebbe di modificarne il formato prima di caricarla, in modo che quel che sarebbe il suo centro ideale per la spirale risulti al centro verticale ed orizzontale di tutto il quadro; un esempio è a lato; non è sempre facile individuarlo sulle foto, ma può rendere assai più praticabili e fruttuose le opzioni, che agiranno intorno a quel centro e non al centro casuale dell'immagine.
Anche se la spirale stessa può ruotare, ciò potrebbe ottimizzare la collocazione di immagini di una certa dimensione, dato che le coodinate x, y non accettano valori negativi fuori quadro.
Ecco un'immagine ripresa dal web, ridimensionata con il fondo scura a destra e in basso, mostra il suo centro in bianco, e dalle frecce dorate estese in rosso il centro verosimile della spirale, che in questo pannello è giusto quella a 144°, e basterebbe ruotare la conchiglia di 20~30 gradi sul supporto per vederla coincidere.
Ulteriori tentativi di tracciamento però dimostrano quel che a prima vista può sfuggire, cioè che la ripresa, orientata a valorizzare la bellezza dell'oggetto, ne esalta la parte esterna con una ripresa non abbastanza frontale (dovrei dire ortogonale?), che esalta le proporzioni della voluta esterna riducendo nella prospettiva quelle interne.
Per poter declamare risultati istruttivi, merita finalmente prender nota di tutto ciò che può trarre in inganno. In ogni caso bisogna fare i conti con la focale dell'obiettivo fotografico e la profondità del corpo.
Una o più nuove versioni, non improbabili, potrebbero ottimizzare il tutto; ma va considerato che questa console è nata e cresciuta in pochi giorni con la ricerca in atto (esempio a lato), e non è intesa a sostituire applicativi pù pesanti e complessi, che richiedono installazione e competenza specifica, bensì offrire a chi lo desidera un accesso diretto e a portata di mano, per confrontarsi con la vera spirale aurea in ogni sua forma, sostituendo espedienti grafici privi di senso con una strada sperimentale fondata.
Una stampa su file tramite una stampante PDF (che si può installare in modo virtuale, anche senza possederla, e rende le spirali meglio di una stampa in PDF da browser) potrà salvare abbastanza bene i risultati ottenuti.
Infine qualche accessorio utile ad intervenire con effetti sulla visibilità e contrasto di dettagli, abilitando o invertendo i colori dello sfondo, per meglio adattare la schermata ad ogni tipo di immagine in uso.
Anzitutto tre opzioni rapide: paper, white e clean, quest'ultima uniforma lo sfondo al colore paper omogeneo, per cui riduce l'eventuale problema di separare lo sfondo cartaceo in uno screenshot da elaborare in un editor grafico per qualche fotomontaggio che, almeno per ora, sembra essere la risorsa più praticata.
Non saranno più accessibili dopo aver usato i seguenti di sistema.
Il pulsante colorato o bianco a sinistra di apre una finestra HTML per la scelta di un colore di fondo della pagina; il campo alla sua destra consente a chi è pratico di introdurne uno #HEX predefinito, nel formato #FFF o #FFFFFF che, se valido, avrà la precedenza. Cliccando infatti si attiverà l'uno o l'altro.
Vi sono anche come interruttori [on/off]:
per invertire immagine e quadro comandi (ad es. con: HEX #0080C0), e
per evidenziare la gabbia aurea, se occorre su un'immagine.
Essa è prodotta in SVG e rimane vettoriale; per contro, poiché non possono esserlo le spirali disegnate dallo script, lo zoom automatico di servizio via mouse ingrandisce grossolanamente solo i pixel già presenti sul display, e lo stesso vale per qualunque stampa (se non PDF or SVG).
Ciò attesta che l'intelaiatura di quadrati e rettangoli aurei non è necessariamente compatibile con il tracciare la spirale vera; ma una sorpresa ci attende:
rotazione grafica della spirale
Nelle prime fasi del presente studio, qualunque fosse la lunghezza del raggio, la spirale partiva sempre dall'angolo zero del JavaScript, 270° nella notazione PostScript da me adottata nelle immagini e nello sfondo lavagna, ore 6 a livello orario.
È importante infatti tener presente che mentre la spirale può essere fatta ruotare rispetto al centro, ciò può simuare un effetto zoom solo apparente rispetto all'immagine caricata, poiché l'inclinazione ed estensione effettiva potranno non corrispondere diametralmente a quelle della figura, lasciando solo un senso frustrante di impossibilità. La variazione del raggio di partenza in questa modalità può risolvere il problema; o in alternativa si può ruotare l'immagine, ma è una manovra che diventa problematica se ripetitiva, qualora non sia stato applicato il consiglio esposto sopra.
Per far chiarezza sulla questione, ho quindi inserito una nuova modalità, oltre alla prima, che consente di tracciare ogni spirale in un solo modo, mantenendone invariato l'orientamento per qualunque raggio, che ruoterà collocandosi nel punto della curva che gli compete.
Possono soddisfare necessità diverse; in tal modo comunque, stabilita la rotazione della spirale rispetto ad un'immagine, si potrà variare il suo angolo di partenza senza doverla riadattare. Il pulsante rappresenta lo stato della seconda (default), che si alterna in per la prima, e viceversa.
aggiornamento aprile 2023