La Spirale Aurea per eccellenza
‘Geometria sacra’ vuol dire geometria viva,
geometria viva è geometria sacra.

La spirale aurea più ammirata


Eccoci finalmente a quella più nota, il cui volteggio di 360° raggiunge il quarto cer­chio aureo dopo quello da cui muove, vale φ4 e per questo l'ho chiamata ‘full’ o com­pleta.
Così, se infine vogliamo sperimentare il fascino di una prospettiva a quar­ti di luna, quelle fasi anche sinusoidali, di cui ho sostenuto la valenza fin dalla di­chia­ra­zio­ne del vero π, poiché echeggiano le stagioni del tempo, la rosa dei venti che da sempre indica le direzioni della natura, e la tetraktýs dei quat­tro E­le­men­ti costituenti il piano tangibile, siamo alla soluzione fa­cil­men­te pra­ti­ca­bi­le come ho già prodot­to, in qualunque ambiente o­pe­ra­ti­vo e lin­guag­gio di svi­lup­po, che darà luogo tra breve ad una analisi ben me­ri­ta­ta, sug­ge­sti­va e fino ad oggi ignota.
Una volta per tutte, chiunque sostenga, o supponga di dimostrare con dei gra­fi­ci di bassa qualità, che la differenza tra un quarto di circonferenza ed uno di spirale è mi­ni­ma, pronuncia una sciocchezza da non divulgare, come questo in­gran­di­men­to mostra con suf­fi­cen­te evidenza matematica: la distorsione in­for­ma­ti­va a cui bisogna riferirsi non sta tanto nel non sovrapporsi delle due curve, ma nell'inversione della tendenza di moto, una circolare fissa e l'altra in e­span­sio­ne centrifuga, ragion per cui le due curve si intersecano indicando un prima e un dopo non casuali, che va ad incontrare con precisione la dia­go­na­le del ret­tan­go­lo aureo che la delimita, a circa 4 parti contro 5 dello stesso qua­dran­te, distorcendone più o meno sottilmente la corretta per­ce­zio­ne men­ta­le, so­prat­tut­to quando le due curve si presentano spesse e so­vrap­poste.
È importante? si chiederà qualcuno…; ma a che pro riprodurre con tanta en­fa­si questa spirale, se poi non la possiamo contemplare nella sua vera essenza?

Le costruzioni proposte in questa sede sono strumentalmente corrette, non ba­sa­te su un collage di quadrati, o spezzoni programmati uno ad uno (pro­ce­du­ra che va riveduta per ciascun tipo di spirale), ma su un tracciato di to­ta­le omogenea continuità, da e verso l'infinito; pre­sen­ta­no i requisiti nu­me­ri­ci del pro­gres­so aureo, che controlli con un clic, e­sclu­den­do la pre­sun­ta u­ti­li­tà di quel­la definita con un com­pas­so e quar­ti retti, per niente e­du­ca­ti­vi… o peggio sulla base di due quadrati uguali! non senza l'invito ad es­ser cauti sulla con­ge­rie di proposte che sfornano in rete formule di­spa­ra­te, con linee spes­se ed un solo paio di ro­ta­zio­ni non sem­pre ve­ri­fi­ca­bi­li (ne ho so­vrap­po­ste due ot­te­nu­te con app di tracciamento au­to­ma­ti­co pa­ra­me­triz­za­te, e non cor­ri­spon­devano tra loro); inoltre anche la pro­gram­ma­zio­ne ar­ti­co­la­ta sui quat­tro settori può ri­ser­va­re sorprese sul­l'o­mo­ge­ne­i­tà tan­gen­zia­le, im­per­cet­ti­bi­li ad occhio.
Nondimeno l'impiego compulsivo dei riquadri potrebbe aver tratto i­spi­ra­zio­ne istintiva dal fatto che – lo dimostrerò a breve – tali archi ruotano ef­fet­ti­va­men­te su una gio­stra similare, ma in questo caso rispondente alla per­fe­zio­ne, in quan­to fatta di au­ten­ti­ci quarti di ellissi; e c'è dell'altro …


Avevo inteso proporla come nuovo approccio ad un disegno traducibile in ogni contesto, a partire da javascript ed HTML; ma se non bastasse, in­cre­di­bi­le ma vero… renderla agibile con precisione anche con sola stru­men­ta­zio­ne ma­nua­le, non solo da giardino ma pure ar­chi­tet­to­ni­ca, sem­pre che si disponga di spazio sufficente per esporne l'am­plia­mento.

la Spirale completa della Sezione Aurea
mantenuta uniformemente dalle Ellissi
Il rettangolo a tratteggio arancione e campo avorio evidenzia in primis come ogni quarto della curva (π /2) interessi una porzione o arco del tutto estranea al quadrato con il quale si tende a rappresentarla, falsandone la dinamica, giacché è questo rettangolo che dovrebbe ruotare intorno al suo primo vertice al cen­tro della spi­ra­le (non del sistema cartesiano), am­pli­fi­candosi di φ ad ogni 90°, come si può seguire ruotandone la base intorno agli assi in color giallo.
la mia seconda formulazione: geometrico-grafica
Assisteremo poi alla comparsa di un secondo perimetro rettangolare, di pro­por­zio­ni molto più prossime al quadrato, per l'esattezza in scala 1:4√φ av­vi­cen­dar­si secondo lo stes­so prin­ci­pio ad ogni quarto, ma intorno ai ver­­ti­­ci di un profilo ret­tan­go­la­re au­reo, di cui scopriremo la specialissima por­tata.
Per non appesantire la fi­gu­ra, è profilato in oro uno di questi, che ha tre ver­­ti­­ci presso 1, B e 2; e ne coglieremo il senso tra breve.
Entrambi i fattori sono un chiaro attestato dell'incompatibilità tra lo svi­lup­po del­la spirale aurea e la sequenza dei rettangoli aurei usualmente a­dot­ta­ta co­me impalcatura, anche presso un sistema cartesiano anziché po­lare.

Dalla spirale alle ellissi auree

Un curio­so effetto figura­ti­vo, per l'in­ver­sio­ne
di un paio di i­stru­zio­ni nel co­di­ce Post­Script,
che esplode e mostra le ellissi se­pa­ra­ta­mente.
È stata questa modalità di ri­cer­ca a permettermi di e­vi­den­zia­re un eccezionale e pur inedito processo la­ten­te nel­lo sviluppo della spi­ra­le au­rea, rap­pre­sen­ta­to nien­te­me­no che dalle figure con­cor­ren­ti di tante ellissi per quanti sono i quadranti.
Potremo chiamarle auree?
non per il rapporto dei loro assi (non sono rettangoli a cui equipararli; semmai si dovrebbe applicare un al­tro criterio) ma per la loro fun­zio­na­li­tà in que­sto con­testo.
Ho comunque indagato per una vir­tua­le partentela con il rettangolo aureo, e qual­co­sa è emersa. Inscritto il ret­tan­go­lo in una delle ellissi, ho tracciato le sue diagonali; queste delimitano due tri­an­go­li quasi equilateri, destro e si­ni­stro in fig., le cui altezze si intersecano in punti molto vicini ai fuochi dell'ellisse (il si­ni­stro in fig.), e nella costruzione gra­fi­ca abbastanza precisa non li rag­giun­go­no con esattezza.
L'avevo preso per un invito ad una ri­co­stru­zio­ne generale ancora più at­ten­ta; ho già premesso quanto la gestione delle ellissi sia delicata, e poi con gli stru­men­ti manuali utilizzati, ma anche senza un'estrema messa a punto non di­pen­de da errore, stante la coerenza dei vari parametri; anzi, la mia im­ma­gi­na­zio­ne ama supporre che il mancato conseguimento di parametri ideali pos­sa esser motivo di tensione intelligente verso una dilatazione continua della for­ma; ma è solo un pensiero dedicato alla spirale…

Una stimolante espressione di rispondenza semantica
Se un rettangolo aureo può essere considerato emblema di φ, esso si e­vol­ve e moltiplica pivotando a spirale intorno alla sua 'radice qua­dra­ta' (libera e­spres­sio­ne simbolica del quadrato da cui deriva).
Sebbene il telaio dei rettangoli aurei non sia necessario per tracciare la spi­ra­le, ecco allora come restituirgli nuova dignità per l'intima par­te­ci­pa­zio­ne.
A­dot­tan­do un qualsiasi schema rettangolare tra questi, o comunque trac­cian­do ex novo un qualsiasi rettangolo aureo, in modo che sia tangente alla spirale con al­me­no tre dei suoi lati, e scalandolo a partire dal centro della spirale nella pro­por­zio­ne √φ [1,272], si raggiungeranno con i suoi vertici i centri di al­tret­tan­te el­lis­si, delle quali un quarto delimitato dai pro­lun­ga­men­ti dei lati del ret­tan­go­lo, che diventano i loro assi, farà parte della spi­ra­le!
Dato un sistema che adotta il raggio = 1 come unità di riferimento al 1° pas­so, la sua altezza, o il lato minore, sarà: φ12 [321,99689437998485765289480]
Tali assi, lati di quel secondo perimetro rettangolare, risultano facilmente mi­su­ra­bi­li per profilare le ellissi, giacché sullo svi­lup­po della gabbia scan­di­sco­no la spirale per­pen­di­co­lar­men­te ed esattamente ad ogni suo quarto (90°, 180° etc.) sulla gabbia tangente, cosa che i ret­tan­go­li della gabbia o­r­di­na­ria an­ti­cipano leg­ger­mente.
Dagli assi è facile risalire ai fuochi, da cui tracciare le ellissi, ove il pe­ri­me­tro rettangolare (in es. profilato in oro con 1, B e 2) si avvolge in modo spi­ra­loi­de intorno ai vertici (in fig. A -->1, B -->2, C -->3) di ogni rettangolo ri­pro­dot­to in scala √φ rispetto a quelli progressivamente tangenti.

Se questa descrizione è troppo stringata, i grafici dovrebbero ben rim­piaz­za­re delle equazioni ed indurre all'intuizione di tale armonia na­sco­sta.

Questo rilevamento, che rende il processo parametrico assai più e­spres­si­vo di quello a coordinate polari, e ben distingue la spirale aurea da una lo­ga­rit­mi­ca standard, sorte dal­l'a­ver applicato al­l'in­ter­me­dia spirale di ret­tan­go­li interna al perimetro C,B,A,d – una scelta va­le­vo­le al pari di qualsiasi altra, es­sen­do la spirale una ripetizione senza inizio né fine – una proiezione ret­tan­go­la­re [ver­de] i cui i vertici si mantengono sulle dia­go­na­li che i­den­ti­fi­ca­no il cen­tro spirale, con una proporzione tra i lati sempre 1 a φ, ma a­sim­me­tri­ca ri­spet­to al profilo di partenza, naturalmente di­stanziata in modo pro­gres­si­vo da rettangoli vir­tua­li, uno per ogni vertice in alterna rotazione verticale / o­riz­zon­ta­le, in ragione tale da mantenere oltre ai lati un rapporto Φ tra le loro di­men­sio­ni in pari rotazione.
Possiamo così osservare all'angolo A una distanza diagonale quotata Φ²: Φ, contro Φ: 1 all'angolo B, che diventa 1: φ al rettangolo C.
Quest'ultimo evidenzia come la somma delle basi dei due: B e C di­stri­bu­i­sca la proporzione dei rettangoli addizionali con l'immancabile rap­por­to √5.

Ebbene sì, i vertici A, B, C, di fatto applicati al nuovo rettangolo [verde] e­ster­no, denotano niente di meno che i centri [nello stesso colore] di al­tret­tan­te el­lis­si, di cui un quarto di ciascuna equivale al quarto di voluta della spirale au­rea in esame.

Un siffatto diagramma insinua verosimilmente la suggestiva immagine di un percorso spirale nel quale all'inizio di ogni quarto virtuale la curva si av­vol­ga nell'ellisse che lo conforma, percorrendola tutta, per poi raggiunti nu­o­va­men­te i 90° dell'arco ripetere il periplo sull'ellissi successiva. Una cadenza come di cicli e ricorsi di crescita, che come è noto è un'alternanza di traumi; un riavvolgersi su se stessa, una presa di coscienza del vissuto prima di un nuovo slancio in avanti. Visione estrosa sen­z'al­tro, ma che forse dissimula una verità pre­ci­sa sulla scia del­l'ap­pa­ri­scen­te mo­to con­ti­nuo, fatta di corsi e ricorsi, atta ad imprimere una pulsazione alla realtà storica e vitale.
Argomenti di raccordo tra il principio circolare e la sua e­span­sio­ne e con­tra­zio­ne, atti a circoscrivere il mondo fenomenico in singoli eventi.
Non posso trattenermi dal pensare come ogni ellisse virtualmente contenga tutta la spirale che la precede in crescita, sia nel verso naturale che in quello opposto, costituendo in tal modo quasi uno stadio di compimento o di tran­si­zione.

Meditare per com­pren­de­re, sul fatto che la spirale non è un'entità chiu­sa e com­ple­ta, definita come lo è ogni poligono regolare.
Al contrario non presenta inizio né fine ma solo movimento, continua e­spres­sio­ne di energia centrifuga e centripeta. La spirale rappresenta la dinamica della vita, la modalità di contrarsi ed espandersi, trasformarsi per evolvere ma, per sua stessa proprietà, è la mera riproduzione vettoriale della tra­spa­ren­te 'ratio aurea'; non di alcun oggetto finito della vita stessa, la cui essenza e struttura la Creazione cristallizza per il tramite di poligoni e poliedri, cia­scu­no con precipue qualità funzionali di assetto e sviluppo, naturalmene in­ter-di­pen­den­ti da rapporti numer[olog]ici e di sacrata geometria.

Concentriamo per un momento l'at­ten­zio­ne sulle di­na­mi­che proprie dei ci­clo­ni, anziché su quelle meno appariscenti (anche se non meno espressive) di conchiglie e vegetali.
Il ciclone nasce da un insieme di turbolenze atmosferiche determinate da alte tem­pe­ra­tu­re equatoriali, che generando centri di minima pressione pro­vo­ca­no aspirazione. Ciò dà luogo al convergere di venti secondo un moto a spirale che si combina in un vortice, simile ad un gigantesco imbuto.
Comunque lo si connoti, potremo più facilmente supporre che detto vortice sod­di­sfi un prin­ci­pio gravitazionale, ve­i­colando cicloni e anticicloni, forze di at­tra­zio­ne e re­pul­sione.
La sua immagine è più facilmente riconducibile a quel­la tem­po­ra­ne­amente chiusa di una ellisse, con la sua proprietà di riflettere la spirale – di cui è figlia – entro il suo pe­ri­me­tro circostanziale, avvolgendola coerentemente in entrambe le di­re­zioni.

Così come si manifestano a spirale passato e futuro nel tempo in dilatazione costante benché quasi impalpabile; ad integrare grazie alla proporzione au­rea quanto ho sostenuto per la funzione del π di quarta dimensione,
Stabilito un coefficiente di crescita, essa è unica, infinitamente ed e­ter­na­men­te uguale a sé stessa.
Se riuscissimo ad immaginare una spirale il cui raggio si dilati ad ogni spira di un solo minuto o di un secondo, avremmo concepito una magica sim­bio­si di tempo e spirale, un insolito modo di vi­sua­liz­za­re e raf­fi­gu­rar­si ge­o­me­tri­camente lo scorrere del tempo. In fondo le lancette degli orologi tra­di­zio­na­li lo fanno già, dal momento che la materia stessa si dilata (e la di­la­ta­zio­ne, na­tu­ra docet, può avvenire solo a spirale); tuttavia non ce ne ac­cor­giamo.
Prova comunque l'opzione personalizzata nella console a tua di­spo­si­zio­ne. Applica ad es: a @. 16,18, e 43 al Raggio, ed immagina lo scor­re­re del tem­po, come se ogni ‘suono’ sulle tracce di un CDROM – forse come me pre­fe­ri­sci l'analogico vinile? – fosse un anno, o un secolo o un mil­len­nio, a rit­mi co­smi­ci evolutivi se­gre­ta­men­te articolati dal Φ…
Basta seguire ciò che l'istinto ispira, dalla molla di un orologio mas­si­ma­men­te compatta quanto più è carica, all'estremo della frequenza on­du­la­to­ria latente; prova un Raggio: 13 e lunghezza:49999 poi aggiungi in so­vrap­po­si­zio­ne, senza ri­pu­li­re lo schermo, una lunghezza:99999 (un pa­ra­me­tro che solo que­sta opzione può reggere) o alla massima espansione, che puoi in­trav­ve­de­re provando con un Raggio: 3 ed una lunghezza spi­ra­le: 99 i passi da 0,05 a 0,02. Ogni verità è dentro di te.
La sezione aurea infatti non nasce in seno alla strumentazione logaritmica o per soddisfare la notazione matematica. L'ho già chiamata “unità di misura celeste” e non aggiungerò altro; ma non escludo un approfondimento di ul­te­rio­ri insperate proprietà dell'anima cosmica della spirale, forse avendo in­tra­vi­sto qual­co­sa di ancor più sorprendente da sviscerare.

Le proporzioni al volo nell'attuale impianto grafico delle ellissi sono di 1.075281212 * 0.9534 – eccentricità 0,4972479446 –, e le dimensioni re­la­ti­ve dei loro as­si e fuo­chi, raffigurati dalle estremità dei ri­spet­ti­vi seg­men­ti in colore, so­no ov­via­men­te rapportabili alla stessa ratio au­rea che regola i dia­me­tri dei cer­chi con­cen­tri­ci a supporto del grande triangolo aureo.
Va da sé che le ho tracciate con istruzioni di cerchi in apposita scala x, y, e che talune specifiche potrebbero subire variazioni minori ad un calcolo ef­fet­ti­vo, in quanto il lavoro di impostazione di questo studio è ne­ces­sa­ria­men­te pro­gram­ma­to a vista (o non avrei scoperto niente di tutto ciò…) ed è basato su calcoli ar­ro­ton­da­ti di Φ e suoi multipli, con assi trasferiti per bloc­chi scalati in sot­to­in­sie­mi a vari livelli.
La ratio formale conseguita a fine pagina potrà renderle più esatte; ma co­me ho accennato, un lavoro più importante attende…

Una quarta ellisse Φ³:Φ² inserita a posteriori con identici parametri dal cen­tro 'd' ha integrato subitamente la curvatura, collocandosi per la do­vu­ta sca­la a π², nel punto di intersezione diagonale [B-d, arancione] e ret­tan­go­lo [ver­de], con­fortan­do l'aspettativa iniziale.
E per ancora maggior soddisfazione e verifica, in termini di progetto, ho rag­grup­pa­to in una unica funzione le quattro parti al completo, sot­to­po­nen­do­le nel contesto ad un comando as­sai critico per questo genere di out­put: ri­pe­ter­la in scala ridotta 1 /φ4; e l'esito [fig. sotto] è più che sod­di­sfa­cen­te, no­no­stan­te i confini di calcolo del sistema.
Tutto questo non può non suggerire un nuovo modo di costruire questa spi­ra­le, procedendo a balzi di φ4 per ricostruire i quarti di ellisse~spirale lun­go la tra­iet­to­ria degli assi dia­go­na­li; sicuramente più laboriosa, ma pur sempre ma­nua­le e veritiera.

Pertanto, come avevo promesso, la posizione dei relativi fuochi derivabili per ogni ellisse è tale da permettere il tracciamento con ogni pro­por­zio­ne e su qualsiasi terreno: fino ad ora infatti si poteva tracciare in campo aperto sia un cerchio che una ellissi, per quanto arduo disegnare ellissi, ma un ac­ces­so di­ret­to e scientifico alla spirale aurea era di fatto precluso (il che avrà cotribuito alla fortuna della serie di Fibonacci).
A questo punto è virtualmente aperto.

Come le Ellissi delimitano la piena Spirale di Sezione Aurea
Ciò significa peraltro che un nuovo algoritmo potrebbe prender forma, per di­se­gna­re la spirale (o le spirali, se qualcuno vorrà avanzare nella direzione di que­sto studio), consistente nel ripetere non i singoli gradi o frazioni, ma pro­pria­men­te i quarti di ellisse, proprio come si usa[va] con i cerchi.

Detto fatto, l'ho programmato nel gra­fi­co so­prastante, quanto meno ad al­leg­ge­ri­re il co­di­ce SVG su migliaia di i­stru­zioni.
Con un buon lettore PDF, uno zoom sulla giunzione di due ellissi la­scia in­trav­ve­de­re la differenza tra la cur­va spi­rale in oro, segmentata da mi­glia­ia di calcoli di sin e cos per ogni 0,5° di cui presenta lo stacco, e le curve blu ed a­ran­cio delle el­lis­si, pro­grammate con un'u­ni­ca i­stru­zio­ne come archi con­ti­nui di 90°, sen­za frat­tu­re nei tracciati.

Come costruire finalmente la
vera Spirale di sezione aurea
Giunti così al traguardo, partito da zero, è in­te­res­san­te va­lu­ta­re che via software – che ormai di fatto so­sti­tu­i­sce il com­pas­so – l'im­pe­gno di di­se­gna­re un'el­lis­s­e in que­sto caso è mi­ni­mo, poi­ché non ri­chie­de l'impiego di e­qua­zio­ni ma so­la­men­te l'uso di i­stru­zio­ni pri­mi­ti­ve, ossia di ar­chi a quar­ti di cer­chio, in­qua­dra­ti in sca­la x:y di 1:1.12783849 e vi­ce­ver­sa, come ho già spiegato a mon­­­te; si noti an­che che quel qua­drila­tero di pro­por­zio­ni 1:4√φ si ri­po­si­zio­na ad ogni sua ro­ta­zio­ne di 90° in scala φ al suo ver­ti­ce in alto a sinistra (in mo­da­li­tà an­tio­ra­ria) il che non ri­chie­de al­cu­na im­pal­ca­tu­ra e­ster­na o di ri­fe­ri­men­to, con­sen­ten­do di ri­pro­dur­re di­ret­ta­men­te e con e­sat­tez­za qua­lun­que por­zio­ne del­la spi­ra­le.

Ed eccola servita, nel­la sua più elegante for­ma e 
fattibilità, a miglior di­rit­to del­le ge­ne­ra­zio­ni future.
A meno che vogliate accettare definitivamente questa come una vera spirale, che chis­sà come e pe­rché viene definita logaritmica, pur essendo fabbricata su misura del rettangolo aureo, mentre non è né l'una né l'altra.

Per farla ancor più breve ed esaustiva, ho elaborato il codice PS di uno tra gli svariati modi per riprodurla con facilità, presso qualunque app in grado di leg­ge­re direttamente il PostScript, come lo stesso Photoshop, o il Gsview o altri PostScript Viewer reperibili in rete.

Si tratta di una routine abbastanza semplice, di una decina di linee, oltre al mag­gior volume dedicato ai parametri accessori. Si può copiare ed in­col­la­re in un file del tipo "GoldenSpiral4Ell.ps" da compilare o usare al­l'uopo: 
%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
%%Title: a 'new' Golden Spiral exact drawing formula, with ellipses
%%Creator: Antonio Alessi
%%Copyright: The WATCH Publisher © 2022 - https://golden-spiral.eye-of-revelation.org
%%BoundingBox: 0 0 6900 4800

%% MIT License
%% Golden Spiral construction - buildup or exact math formulas are described in website
%% Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy of this software,
%% including without limitation the rights to use, copy, modify, merge, publish, distribute,
%% provided that the above copyright notice and this permission notice is included
%%  in all copies or substantial portions of the Software.
%%EndComments
%%BeginProlog
/setpagedevice where { pop 1 dict dup /PageSize [ 6900 4800 ] put setpagedevice} if

/RGBco { {255 div} forall setrgbcolor }def
/gold {[206 190 108] RGBco }def
/silv {[207 213 233] RGBco }def

/phi { 5 sqrt 1 add 2 div } def
/SideRatio { phi  2 {sqrt} repeat } bind def
/phiH4 { 1 SideRatio div } bind def

%%EndProlog
3450 2400 translate

/baseline{ gsave silv .1 setlinewidth
 0 0 moveto 0 radius 0 lineto
 0 radius  rlineto radius neg 0 rlineto closepath
 stroke grestore } def

/newquadrant {SideRatio 1 scale
% baseline
} def

/radius 33 def
/lwidth radius 20 div def

1 setlinecap gold
%-------
14 { newquadrant
 0 0 radius 0 90 arc currentpoint
 stroke

90 rotate
 SideRatio phi mul radius mul sub 0 translate
 pop

 phi dup phiH4 mul scale

/lwidth lwidth phi sqrt div def
 lwidth setlinewidth

	} repeat





% (V5 + 1) /2
% 1.1278384855616822602648354797459



% center start







% unlock this  to draw the frames







% set the proportion for each new arc you want
% draws the 1st arc from any 0,0
% and gets the last point x, y, then:

% turn one quadrant clockwise, for any frames
% from the previous y, moves to the new center
% ( delete the remaining x from the stack )

% renews the proportions of the next phi ratio

% resizes the line width as to the new scale
% to fix a flat line, remove the 'sqrt' from above

showpage

Fiducioso nel tempo fin'ora in­ve­sti­to in questo contributo, confido che qual­­che paziente Matematico vorrà ri­per­cor­rerlo nelle formule con­se­guen­ti al pro­ce­di­men­to illustrativo, con for­mu­la­zio­ni esaurienti ed impeccabili.

Essendo questa figura completamente vettoriale, per la sua maggior vi­si­bi­li­tà consiglio di adottare lo schermo in orizzontale e scalarla con il massimo zoom consentito dal browser; per di più, al fine di alleggerire il caricamento di tante fi­gu­re SVG complesse, ho adottato una compattazione dei dati che au­men­ta l'ap­pros­si­ma­zio­ne di quasi tutti i valori; tuttavia non credo che qualche de­ci­ma­le in meno incida sulla resa apprezzabile via browser.
In ogni caso è ben leggibile il PDF di tutte le va­rian­ti dei grafici, che renderà supera­bi­li eventuali gap nella visibilità delle linee, sul cui spessore PS ed SVG sembrano differire, nonché ve­ri­fi­cabile la precisione dei valori nu­me­ri­ci nel­le intersezioni angolari, di cui l'algoritmo PostScript ri­pro­du­ce il valore approx. a 3 decimali, ricavato dal calcolo e­spo­nen­zia­le non me­diato.

la Quintessenza della spirale aurea

la soluzione esatta delle spirali auree